petrvel/nmma336
1
0
Fork 0
Code Issues Pull requests Projects Releases Packages Wiki Activity Actions

opravy preklepu

Browse source
This commit is contained in:
Petr Velycko 2025-05-15 16:26:11 +02:00
parent d886fd756d
commit e56b383cc0
Signed by: petrvel
GPG key ID: E8F909AFE649174F
4 changed files with 5 additions and 5 deletions
Download patch file Download diff file Expand all files Collapse all files

4
zavislost-na-podmince.tex
View file

@ -9,10 +9,10 @@
\end{lemma}
\begin{proof}
Definujeme $\Phi(t) := K + \int_{t_0}^t w(s) g(s) ds + \varepsilon$ pro $t > t_0$. Okamžitě z předpoklady vidíme, že $w(t) \leq \Phi(t)$. Zderivujeme funkci $\Phi(t)$, dostáváme
Definujeme $\Phi(t) := K + \int_{t_0}^t w(s) g(s) ds + \varepsilon$ pro $t > t_0$ (důkaz pro $t \leq t_0$ se udělá obdobně). Okamžitě z předpokladů vidíme, že $w(t) \leq \Phi(t)$. Zderivujeme funkci $\Phi(t)$, dostáváme
$\Phi'(t) = w(t) g(t) \leq \Phi(t) g(t)$ což po vydělení $\Phi(t)$ (je nenulové díky přičtení $\varepsilon$) nám dává $\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)} \leq g(t)$, což můžeme přeintegrovat od $t_0$ do $t$, čímž dostaneme
$\int_{t_0}^t \frac{\Phi'(s)}{\Phi(s)} ds \leq \int_{t_0}^t g(s) ds$. Po vyčíslení integrálů dostaneme
$ \log (\Phi(t) - \Phi(t_0)) \leq \int_{t_0}^t g(s) ds$. Jelikož $\exp$ je rostoucí funkce, můžeme psát $ \frac{\Phi(t)}{\Phi(t_0)} \leq \exp\left(\int_{t_0}^t g(s) ds\right)$.
$ \log \Phi(t) - \log \Phi(t_0) \leq \int_{t_0}^t g(s) ds$. Jelikož $\exp$ je rostoucí funkce, můžeme psát $ \frac{\Phi(t)}{\Phi(t_0)} \leq \exp\left(\int_{t_0}^t g(s) ds\right)$.
Nakonec dostáváme $w(t) \leq \Phi(t) \leq (K+\varepsilon) \exp\left(\int_{t_0}^t g(s) ds\right)$. Požadované tvrzení získáme posláním $\varepsilon$ do $0$.
\end{proof}