prednaska 17.3.2025 + stylisticke upravy

nahodne-jevy.tex

@@ -37,7 +37,7 @@ Každé události $A \in \mathcal{A}$ přiřadíme číslo $\mathbb{P}(A)$, kter
 	Nechť $(\Omega, \mathcal{A})$ je měřitelný prostor. Zobrazení $P: \mathcal{A} \rightarrow [0, 1]$ nazýváme \textit{pravděpodobnostní mírou (pravděpodobností)}, jestliže:
 	\begin{enumerate}[(i)]
 		\item $P(\Omega) = 1$,
-		\item Pro libovolné po dvou disjunktní měřitelné množiny $A_i \in \mathcal{A}$, $i \in \mathbb{N}$ platí
+		\item Pro libovolné po dvou disjunktní měřitelné množiny $A_i \in \mathcal{A}$, $i \in \N $ platí
 			$P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$.
 	\end{enumerate}
 
@@ -135,7 +135,7 @@ Poznamenejme si několik základních vlastností podmíněné pravděpodobnosti
 
 	Vlastnost (ii) se dokáže následujícím protipříkladem, uvažujme hod dvěma férovými mincemi. Nechť $H_1$ je událost ``padla aspoň jedna panna" a $H_2$ událost ``padly dvě panny". Potom $P(H_1|H_2) = 1$ ale $P(H_2|H_1) = \frac{1}{3}$. Důkaz obecného vztahu je ponechán čtenáři jako snadné (ale užitečné) cvičení. 
 
-	Nakonec, vlastnost (i) je důsledkem toho, že pro libovolnou množinu $A \in \mathcal{A}$ je $A \cap B$ měřitelná, a navíc pro libovolný systém po dvou disjunktních množin $A_i, i \in \mathbb{N}$ platí $P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i | B) = \frac{1}{P(B)} P\left(\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \cap B\right) = $\\
+	Nakonec, vlastnost (i) je důsledkem toho, že pro libovolnou množinu $A \in \mathcal{A}$ je $A \cap B$ měřitelná, a navíc pro libovolný systém po dvou disjunktních množin $A_i, i \in \N $ platí $P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i | B) = \frac{1}{P(B)} P\left(\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \cap B\right) = $\\
 	$\frac{1}{P(B)} P\left(\bigcup_{i=1}^\infty (A_i \cap B)\right) = \frac{1}{P(B)} \sum_{i=1}^\infty P(A_i \cap B) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i|B)$.
 \end{proof}
 
@@ -168,17 +168,17 @@ Na závěr uvedeme dvě velmi užitečné věty, které se často používají v
 
 \begin{theorem}[Zákon úplné pravděpodobnosti]
 	\label{thm-complete-probability}
-	Nechť $A_1, A_2, \dots$ je spočetný disjunktní rozklad $\Omega$ takový, že $P(A_i) > 0$ pro každé $i \in \mathbb{N}$. Potom pro libovolnou událost $B \in \mathcal{A}$ platí:
+	Nechť $A_1, A_2, \dots$ je spočetný disjunktní rozklad $\Omega$ takový, že $P(A_i) > 0$ pro každé $i \in \N $. Potom pro libovolnou událost $B \in \mathcal{A}$ platí:
 	$$P(B) = \sum_{i=1}^\infty P(B|A_i) P(A_i).$$
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-	Definujme posloupnost množin $C_i = B \cap A_i$ pro $i\in \mathbb{N}$. Zjevně $\{C_i, i \in \mathbb{N}\}$ je disjunktní pokrytí $B$. Potom $P(B) = \sum_{i=1}^\infty P(C_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B|A_i)P(A_i)$.
+	Definujme posloupnost množin $C_i = B \cap A_i$ pro $i\in \N $. Zjevně $\{C_i, i \in \N \}$ je disjunktní pokrytí $B$. Potom $P(B) = \sum_{i=1}^\infty P(C_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B|A_i)P(A_i)$.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}[Bayes]
 	\label{thm-bayes}
-	Nechť $A_1, A_2, \dots$ je spočetný disjunktní rozklad $\Omega$ takový, že $P(A_i) > 0$ pro každé $i \in \mathbb{N}$. Mějme událost $B \in \mathcal{A}$ s nenulovou pravděpodobností. Potom platí:
+	Nechť $A_1, A_2, \dots$ je spočetný disjunktní rozklad $\Omega$ takový, že $P(A_i) > 0$ pro každé $i \in \N $. Mějme událost $B \in \mathcal{A}$ s nenulovou pravděpodobností. Potom platí:
 	$$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^\infty P(B|A_j)P(A_j)}.$$
 \end{theorem}