prednaska 17.3.2025 + stylisticke upravy

nahodne-jevy.tex

@@ -37,7 +37,7 @@ Každé události $A \in \mathcal{A}$ přiřadíme číslo $\mathbb{P}(A)$, kter
 	Nechť $(\Omega, \mathcal{A})$ je měřitelný prostor. Zobrazení $P: \mathcal{A} \rightarrow [0, 1]$ nazýváme \textit{pravděpodobnostní mírou (pravděpodobností)}, jestliže:
 	\begin{enumerate}[(i)]
 		\item $P(\Omega) = 1$,
-		\item Pro libovolné po dvou disjunktní měřitelné množiny $A_i \in \mathcal{A}$, $i \in \mathbb{N}$ platí
+		\item Pro libovolné po dvou disjunktní měřitelné množiny $A_i \in \mathcal{A}$, $i \in \N $ platí
 			$P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$.
 	\end{enumerate}
 
@@ -135,7 +135,7 @@ Poznamenejme si několik základních vlastností podmíněné pravděpodobnosti
 
 	Vlastnost (ii) se dokáže následujícím protipříkladem, uvažujme hod dvěma férovými mincemi. Nechť $H_1$ je událost ``padla aspoň jedna panna" a $H_2$ událost ``padly dvě panny". Potom $P(H_1|H_2) = 1$ ale $P(H_2|H_1) = \frac{1}{3}$. Důkaz obecného vztahu je ponechán čtenáři jako snadné (ale užitečné) cvičení. 
 
-	Nakonec, vlastnost (i) je důsledkem toho, že pro libovolnou množinu $A \in \mathcal{A}$ je $A \cap B$ měřitelná, a navíc pro libovolný systém po dvou disjunktních množin $A_i, i \in \mathbb{N}$ platí $P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i | B) = \frac{1}{P(B)} P\left(\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \cap B\right) = $\\
+	Nakonec, vlastnost (i) je důsledkem toho, že pro libovolnou množinu $A \in \mathcal{A}$ je $A \cap B$ měřitelná, a navíc pro libovolný systém po dvou disjunktních množin $A_i, i \in \N $ platí $P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i | B) = \frac{1}{P(B)} P\left(\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \cap B\right) = $\\
 	$\frac{1}{P(B)} P\left(\bigcup_{i=1}^\infty (A_i \cap B)\right) = \frac{1}{P(B)} \sum_{i=1}^\infty P(A_i \cap B) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i|B)$.
 \end{proof}
 
@@ -168,17 +168,17 @@ Na závěr uvedeme dvě velmi užitečné věty, které se často používají v
 
 \begin{theorem}[Zákon úplné pravděpodobnosti]
 	\label{thm-complete-probability}
-	Nechť $A_1, A_2, \dots$ je spočetný disjunktní rozklad $\Omega$ takový, že $P(A_i) > 0$ pro každé $i \in \mathbb{N}$. Potom pro libovolnou událost $B \in \mathcal{A}$ platí:
+	Nechť $A_1, A_2, \dots$ je spočetný disjunktní rozklad $\Omega$ takový, že $P(A_i) > 0$ pro každé $i \in \N $. Potom pro libovolnou událost $B \in \mathcal{A}$ platí:
 	$$P(B) = \sum_{i=1}^\infty P(B|A_i) P(A_i).$$
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-	Definujme posloupnost množin $C_i = B \cap A_i$ pro $i\in \mathbb{N}$. Zjevně $\{C_i, i \in \mathbb{N}\}$ je disjunktní pokrytí $B$. Potom $P(B) = \sum_{i=1}^\infty P(C_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B|A_i)P(A_i)$.
+	Definujme posloupnost množin $C_i = B \cap A_i$ pro $i\in \N $. Zjevně $\{C_i, i \in \N \}$ je disjunktní pokrytí $B$. Potom $P(B) = \sum_{i=1}^\infty P(C_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B|A_i)P(A_i)$.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}[Bayes]
 	\label{thm-bayes}
-	Nechť $A_1, A_2, \dots$ je spočetný disjunktní rozklad $\Omega$ takový, že $P(A_i) > 0$ pro každé $i \in \mathbb{N}$. Mějme událost $B \in \mathcal{A}$ s nenulovou pravděpodobností. Potom platí:
+	Nechť $A_1, A_2, \dots$ je spočetný disjunktní rozklad $\Omega$ takový, že $P(A_i) > 0$ pro každé $i \in \N $. Mějme událost $B \in \mathcal{A}$ s nenulovou pravděpodobností. Potom platí:
 	$$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^\infty P(B|A_j)P(A_j)}.$$
 \end{theorem}
 

nahodne-veliciny.tex

@@ -4,13 +4,13 @@ V této kapitole se budeme věnovat náhodným veličinám, což bude formalizov
 
 \begin{definition}
 	Nechť $(\Omega, \mathcal{A})$ je měřitelný prostor. \textit{Náhodná veličina} je měřitelné zobrazení, které přiřazuje každému výsledku $\omega$ reálné číslo $X(\omega)$.
-	Jinými slovy, $\{\omega \in \Omega: X(\omega) \leq x\} \in \mathcal{A} \forall x\in\mathbb{R}$.
+	Jinými slovy, $\{\omega \in \Omega: X(\omega) \leq x\} \in \mathcal{A} \forall x\in\R $.
 \end{definition}
 
 \hfill \textit{konec 2. přednášky (18.2.2025)}
 
 \begin{convention}
-	Zavedeme značení $[X \in B] = \{\omega: X(\omega) \in B\}, [X \leq a] = \{\omega, X(\omega) \leq a\}$. Platí tedy $[X \in B], [X \leq a] \in \mathcal{A}$ pro všechna $B \in \mathcal{B}, a \in \mathbb{R}$. Jde o náhodné jevy a jsou tedy dobře definované jejich pravděpodobnosti $P[X \in B], P[X \leq a]$.
+	Zavedeme značení $[X \in B] = \{\omega: X(\omega) \in B\}, [X \leq a] = \{\omega, X(\omega) \leq a\}$. Platí tedy $[X \in B], [X \leq a] \in \mathcal{A}$ pro všechna $B \in \mathcal{B}, a \in \R $. Jde o náhodné jevy a jsou tedy dobře definované jejich pravděpodobnosti $P[X \in B], P[X \leq a]$.
 \end{convention}
 
 \begin{example}
@@ -20,11 +20,11 @@ V této kapitole se budeme věnovat náhodným veličinám, což bude formalizov
 V předchozí kapitole jsme mluvili o pravděpodobnostním rozdělení, je na čase tento pojem formálně zadefinovat.
 
 \begin{definition}
-	\textit{Rozdělením náhodné veličiny} $X: (\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ nazýváme indukovanou pravděpodobnostní míru $P_X$ na $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ definovanou jako
+	\textit{Rozdělením náhodné veličiny} $X: (\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow (\R , \mathcal{B}(\R ))$ nazýváme indukovanou pravděpodobnostní míru $P_X$ na $(\R ,\mathcal{B}(\R ))$ definovanou jako
-	$$ P_X(B) := P[\{\omega\in\Omega: X(\omega)\in B\}],B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$$
+	$$ P_X(B) := P[\{\omega\in\Omega: X(\omega)\in B\}],B\in \mathcal{B}(\R ).$$
 \end{definition}
 
-Máme tedy jakýsi obraz míry $P$ v zobrazení $P_X$ čímž se $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ zobrazí na pravděpodobnostní prostor $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X)$. V opačném směru můžeme použít takzvané kanonické vnoření do prostoru $(\mathbb{R}, \mathcal{B}, P_X)$, kde naší zvolenou měřitelnou funkcí bude identita, tedy není potřeba se bát, že by příslušný prostor nemusel existovat. Následující věta říká, že nezáleží ve kterém z těchto dvou prostorů integrujeme libovolnou funkci.
+Máme tedy jakýsi obraz míry $P$ v zobrazení $P_X$ čímž se $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ zobrazí na pravděpodobnostní prostor $(\R ,\mathcal{B}(\R ),P_X)$. V opačném směru můžeme použít takzvané kanonické vnoření do prostoru $(\R , \mathcal{B}, P_X)$, kde naší zvolenou měřitelnou funkcí bude identita, tedy není potřeba se bát, že by příslušný prostor nemusel existovat. Následující věta říká, že nezáleží ve kterém z těchto dvou prostorů integrujeme libovolnou funkci.
 
 \begin{theorem}[O přenosu integrace]
 	\label{thm-pushforward-measure}
@@ -41,7 +41,7 @@ Máme tedy jakýsi obraz míry $P$ v zobrazení $P_X$ čímž se $(\Omega, \math
 	Pro pravou stranu máme
 	$$ \int_\mathbb{M} g(x) dP_X(x) = \int_B dP_X(x) = P_X(B) = P[X^{-1}(B)].$$
 
-	Dále nechť $g$ je jednoduchá měřitelná, tedy $g(\cdot) = \sum_{k = 1}^{n} c_k \chi_{B_k}(\cdot)$ pro $n \in \mathbb{N}$, $c_k \in \mathbb{R}$ a $B_k \in \mathcal{M}$ pro všechna $k$.
+	Dále nechť $g$ je jednoduchá měřitelná, tedy $g(\cdot) = \sum_{k = 1}^{n} c_k \chi_{B_k}(\cdot)$ pro $n \in \N $, $c_k \in \R $ a $B_k \in \mathcal{M}$ pro všechna $k$.
 	Z linearity integrálu plyne (vytkneme sumu) $ \int_\Omega g(X(\omega) dP(\omega) = \int_{X^{-1}(B)} dP(\omega) = P[X^{-1}(B)]$.
 
 	Je-li $g$ nezáporná měřitelná, potom existuje posloupnost $g_n$ jednoduchých měřitelných funkcí takových, že $g_n \nearrow g$. Potom dle Léviho věty o monotonní konvergenci máme
@@ -52,18 +52,18 @@ Máme tedy jakýsi obraz míry $P$ v zobrazení $P_X$ čímž se $(\Omega, \math
 	Nakonec, pro $g$ měřitelnou existuje rozklad $g = g^+ - g^-$ takový, že $g^+, g^-$ jsou nezáporné měřitelné, tedy požadované tvrzení plyne z části pro nezáporné měřitelné funkce.  
 \end{proof}
 
-Na závěr poznamenejme, že se nám budou obzvlášť hodit volby $(\mathbb{M}, \mathcal{M}) = (\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$ pro $n \geq 1$.
+Na závěr poznamenejme, že se nám budou obzvlášť hodit volby $(\mathbb{M}, \mathcal{M}) = (\R ^n, \mathcal{B}(\R ^n))$ pro $n \geq 1$.
 
-Připomeňme si, že jsou-li $\mu, \nu$ dvě $\sigma$-konečné míry na $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ a je-li $\nu << \mu$ (tedy $\mu(B) = 0$ implikuje $\nu(B) = 0$), potom z Radonovy-Nikodymovy věty plyne existence nezáporné měřitelné funkce $f$ takové, že $\nu(B) = \int_\mathbb{R} fd\mu$ pro všechna $B \in \mathcal{B}$. Této funkci $f$ říkáme Radonova-Nikodymova derivace a píšeme $f = \frac{d\nu}{d\mu}$. Taková funkce $f$ je navíc určena jednoznačně až na množinu $\mu$-míry $0$.
+Připomeňme si, že jsou-li $\mu, \nu$ dvě $\sigma$-konečné míry na $(\R , \mathcal{B}(\R ))$ a je-li $\nu << \mu$ (tedy $\mu(B) = 0$ implikuje $\nu(B) = 0$), potom z Radonovy-Nikodymovy věty plyne existence nezáporné měřitelné funkce $f$ takové, že $\nu(B) = \int_\R  fd\mu$ pro všechna $B \in \mathcal{B}$. Této funkci $f$ říkáme Radonova-Nikodymova derivace a píšeme $f = \frac{d\nu}{d\mu}$. Taková funkce $f$ je navíc určena jednoznačně až na množinu $\mu$-míry $0$.
 
-Využijeme těchto poznatků tak, že zvolíme vhodnou referenční míru na $\mathbb{R}$ a rozdělení $P_X$ pak bude popsáno právě zavedenou Radonovou-Nikodymovou derivací. Vhodné referenční míry jsou např.
+Využijeme těchto poznatků tak, že zvolíme vhodnou referenční míru na $\R $ a rozdělení $P_X$ pak bude popsáno právě zavedenou Radonovou-Nikodymovou derivací. Vhodné referenční míry jsou např.
 \begin{itemize}
 	\item Lebesgueova míra $\lambda$,
-	\item Čítací míra na spočetné podmnožině $\mathbb{R}$, platí $\mu_S(B) = |B \cap S|$ kde $S$ je nejvýše spočetná podmnožina $\mathbb{R}$.
+	\item Čítací míra na spočetné podmnožině $\R $, platí $\mu_S(B) = |B \cap S|$ kde $S$ je nejvýše spočetná podmnožina $\R $.
 \end{itemize}
 
 \begin{definition}
-	Buď $X$ náhodná veličina a $P_X$ její rozdělení. Nechť $P_X$ je absolutně spojité vůči $\mu$, kde $\mu$ je $\sigma$-konečná míra na $\mathbb{R}$. Pak funkci $f_X$ splňující $P_X(B) = \int_B f_X d\mu$ pro všechny $B \in \mathbb{B}$ nazveme \textit{hustotou} rozdělení náhodné veličiny $X$ vůči míře $\mu$.
+	Buď $X$ náhodná veličina a $P_X$ její rozdělení. Nechť $P_X$ je absolutně spojité vůči $\mu$, kde $\mu$ je $\sigma$-konečná míra na $\R $. Pak funkci $f_X$ splňující $P_X(B) = \int_B f_X d\mu$ pro všechny $B \in \mathbb{B}$ nazveme \textit{hustotou} rozdělení náhodné veličiny $X$ vůči míře $\mu$.
 \end{definition}
 
 Je třeba si dát pozor na to, aby zvolená referenční míra opravdu byla absolutně spojitá, například při hodu kostkou má výsledek $1$ nenulovou pravděpodobnost, ale $\lambda(\{1\}) = 0$.
@@ -135,23 +135,23 @@ Vidíme, že hustota odpovídá skokům distribuční funkce v daném bodě. V n
 	\begin{enumerate}[(i)]
 		\item $F_X(a)= P[X \leq a]$. Bez újmy na obecnosti nechť $b > a$. Potom $F_X(b) = P[X \leq b] = P([X \leq a] \cup [a < X \leq b]) = P[X \leq a] + P[a < X \leq b]$ z aditivity míry, druhý sčítanec je nezáporný, tedy dostáváme požadované tvrzení.
 		\item Platí $\lim_{a\rightarrow -\infty} = \lim_{n\rightarrow\infty} F_X(-n) = \lim_{n\rightarrow\infty} P[X \in (-\infty, -n]] =: $\\$\lim_{n\rightarrow\infty} P[X \in A_n] = 0$. Poslední rovnost platí ze spojitosti míry (Věta \ref{thm-continuity}), neboť platí $A_n \searrow \emptyset$. Obdobně se ukáže tvrzení pro $a \rightarrow + \infty$ (cvičení).
-		\item Stačí uvažovat posloupnost $a_n = a + \frac{1}{n}$ pro $n \in \mathbb{N}$. Požadované tvrzení opět plyne z věty o spojitosti míry.
+		\item Stačí uvažovat posloupnost $a_n = a + \frac{1}{n}$ pro $n \in \N $. Požadované tvrzení opět plyne z věty o spojitosti míry.
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
-Pro každou funkci $F$ splňující vlastnosti z předchozí věty existuje míra $\mu_F$ na $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ určená vztahem $\mu_F((-\infty, a]) = F(a)$ pro všechna $a$. Tato míra je konečná a platí $\mu_F((a, b]) = F(b) - F(a)$.
+Pro každou funkci $F$ splňující vlastnosti z předchozí věty existuje míra $\mu_F$ na $(\R , \mathcal{B})$ určená vztahem $\mu_F((-\infty, a]) = F(a)$ pro všechna $a$. Tato míra je konečná a platí $\mu_F((a, b]) = F(b) - F(a)$.
 
 \begin{definition}[Rozklad pravděpodobnostního rozdělení]
-	Každou pravděpodobnostní míru $P_X$ můžeme rozdělit na tři složky $P_X = P_{X_{as}} + P_{X_{ds}} + P_{X_{sg}}$, kde $P_{X_{as}}$ je absolutně spojitá vůči Lebesgueově míře $\lambda$, $P_{X_{ds}}$ (diskrétní spojitá) je absolutně spojitá vůči čítací míře $\mu$ na nějaké spočetné podmnožině $\mathbb{R}$ a nakonec $P_{X_{sg}}$ (singulární) není absolutně spojitá vůči $\lambda$ ani ji nelze napsat jako spočetnou kombinaci Diracových měr $\delta_x$. 
+	Každou pravděpodobnostní míru $P_X$ můžeme rozdělit na tři složky $P_X = P_{X_{as}} + P_{X_{ds}} + P_{X_{sg}}$, kde $P_{X_{as}}$ je absolutně spojitá vůči Lebesgueově míře $\lambda$, $P_{X_{ds}}$ (diskrétní spojitá) je absolutně spojitá vůči čítací míře $\mu$ na nějaké spočetné podmnožině $\R $ a nakonec $P_{X_{sg}}$ (singulární) není absolutně spojitá vůči $\lambda$ ani ji nelze napsat jako spočetnou kombinaci Diracových měr $\delta_x$.
 \end{definition}
 
 Příkladem singulární distribuční funkce je například integrál takzvaného Cantorova diskontinua. Obecně taková rozdělení nemají ``hezké" vlastnosti, proto s nimi již nebudeme pracovat.
 
 \begin{definition}
-	Náhodnou veličinu $X$ nazveme \textit{diskrétní}, jestliže existují $\emptyset \neq I \subset \mathbb{N}$, $\{x_i\}_{i \in I}$ a $\{p_i \in (0,1]\}_{i \in I}$ takové že $P[X \in B] = \sum_{i, x_i \in B} p_i$ pro všechny borelovské $B$.
+	Náhodnou veličinu $X$ nazveme \textit{diskrétní}, jestliže existují $\emptyset \neq I \subset \N $, $\{x_i\}_{i \in I}$ a $\{p_i \in (0,1]\}_{i \in I}$ takové že $P[X \in B] = \sum_{i, x_i \in B} p_i$ pro všechny borelovské $B$.
 \end{definition}
 
-Platí $P[X = x_i] = p_i$ a $\sum_{i \in I} p_i = 1$. Rozdělením takové veličiny je funkce $P_X = \sum_{i \in I} p_i \delta_{x_i}$, kde $\delta_u$ je Diracova míra v bodě $u$. Toto rozdělení je absolutně spojité vůči čítací míře na $S = \{x_i\}_{i \in I} \subset \mathbb{R}$. Potom funkce
+Platí $P[X = x_i] = p_i$ a $\sum_{i \in I} p_i = 1$. Rozdělením takové veličiny je funkce $P_X = \sum_{i \in I} p_i \delta_{x_i}$, kde $\delta_u$ je Diracova míra v bodě $u$. Toto rozdělení je absolutně spojité vůči čítací míře na $S = \{x_i\}_{i \in I} \subset \R $. Potom funkce
 $f_X(u) := \begin{cases}
 	p_i, u = x_i,\\
 	0, \text{jinak}
@@ -161,7 +161,7 @@ $f_X(u) := \begin{cases}
 	Náhodná veličina $X$ se nazývá \textit{(absolutně) spojitá}, pokud její rozdělení $P_X$ je absolutně spojité vůči Lebesgueově míře $\lambda$.
 \end{definition}
 
-Pro spojitou náhodnou veličinu $X$ vždy existuje hustota $f_X$ (nezáporná a jednoznačná až na množinu $\lambda$-míry $0$) splňující $P[X\in B] = \int_B f_X(t) dt$ a speciálně $F_X(a) = \int_{-\infty}^a f_X(t) dt$ pro všechna $a \in \mathbb{R}$. Taková $F_X$ má derivaci ve skoro všech bodech a platí $F'_X(a) = f_X(a)$ pro s.v. $a$. Analogicky pro diskrétní náhodnou veličinu $Y$ je hustota funkcí, která nabývá v bodě $a$ hodnoty distribuční funkce v daném bodě.
+Pro spojitou náhodnou veličinu $X$ vždy existuje hustota $f_X$ (nezáporná a jednoznačná až na množinu $\lambda$-míry $0$) splňující $P[X\in B] = \int_B f_X(t) dt$ a speciálně $F_X(a) = \int_{-\infty}^a f_X(t) dt$ pro všechna $a \in \R $. Taková $F_X$ má derivaci ve skoro všech bodech a platí $F'_X(a) = f_X(a)$ pro s.v. $a$. Analogicky pro diskrétní náhodnou veličinu $Y$ je hustota funkcí, která nabývá v bodě $a$ hodnoty distribuční funkce v daném bodě.
 
 Ne každá veličina, se kterou se běžně setkáme je ryze spojitá nebo ryze diskrétní. Příkladem veličiny, která má obě složky nenulové, je například úhrn denních srážek, s nenulovou pravděpodobností nenaprší vůbec, ale když už začne pršet, úhrn srážek je spojitá náhodná veličina.
 
@@ -197,14 +197,14 @@ Dalším užitečným pojmem je funkce inverzní k distribuční funkci, které
 	\end{itemize}
 \end{definition}
 
-Je-li $F$ ryze rostoucí a spojitá, je $F^{-1}(q)$ to jediné $x \in \mathbb{R}$ takové, že $F(x) = q$, jinými slovy, $F$ je bijekce z $\mathbb{R}$ do $(0, 1)$. Takto definovaná kvantilová funkce je neklesající a zprava spojitá. Dále z $F^{-1}$ můžeme jednoznačně určit $F$, tedy také charakterizuje rozdělení $P_X$. Nakonec, o dvou náhodný veličinách $X$ a $Y$ říkáme, že jsou stejně rozdělené, zapisujeme $X \overset{d}{=} Y$, právě tehdy, když $F_X(x) = F_Y(x)$ pro všechna $x$. To však neznamená, že $X = Y$.
+Je-li $F$ ryze rostoucí a spojitá, je $F^{-1}(q)$ to jediné $x \in \R $ takové, že $F(x) = q$, jinými slovy, $F$ je bijekce z $\R $ do $(0, 1)$. Takto definovaná kvantilová funkce je neklesající a zprava spojitá. Dále z $F^{-1}$ můžeme jednoznačně určit $F$, tedy také charakterizuje rozdělení $P_X$. Nakonec, o dvou náhodný veličinách $X$ a $Y$ říkáme, že jsou stejně rozdělené, zapisujeme $X \overset{d}{=} Y$, právě tehdy, když $F_X(x) = F_Y(x)$ pro všechna $x$. To však neznamená, že $X = Y$.
 
 Ukážeme si několik užitečných příkladů rozdělení (diskrétních a později i spojitých). Tato rozdělení se používají v praxi při modelování jednoduchých systémů, ale u komplikovanějších modelů se s těmito rozděleními bohužel nevystačíme.
 
 \subsection{Diskrétní náhodné veličiny}
 
 \begin{definition}[Bodové rozdělení]
-	Náhodná veličina $X$ má \textit{bodové rozdělení} v bodě $a$ právě tehdy, když $P[X = x] = \chi_{\{x = a\}}, x \in \mathbb{R}$. Zapisujeme $X \sim \delta_a$. Potom platí $F_X(x) = \chi_{\{x \geq a\}}$.
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{bodové rozdělení} v bodě $a$ právě tehdy, když $P[X = x] = \chi_{\{x = a\}}, x \in \R $. Zapisujeme $X \sim \delta_a$. Potom platí $F_X(x) = \chi_{\{x \geq a\}}$.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Diskrétní rovnoměrné rozdělení]
@@ -217,7 +217,7 @@ Ukážeme si několik užitečných příkladů rozdělení (diskrétních a poz
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Binomické rozdělení]
-	Náhodná veličina $X$ má \textit{binomické rozdělení} s parametry $n \in \mathbb{N}$ a $p \in (0, 1)$ právě tehdy, když
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{binomické rozdělení} s parametry $n \in \N $ a $p \in (0, 1)$ právě tehdy, když
 	$$f_X(x) = \binom{n}{x}p^x(1- p)^{n - x} \chi_{\{x \in \{0,\dots,n\}\}}.$$
 	Zapisujeme $X \sim Bi(n, p)$. Používáme toto v případě sčítaně nezávislých\footnote{Přesná definice nezávislých veličin bude uvedena později.} veličin s Bernoulliho rozdělením (počet úspěchů mezi $n$ pokusy).
 \end{definition}
@@ -225,19 +225,19 @@ Ukážeme si několik užitečných příkladů rozdělení (diskrétních a poz
 \begin{definition}[Geometrické rozdělení]
 	Náhodná veličina $X$ má \textit{geometrické rozdělení} s parametrem $p \in (0, 1)$ (zapisujeme $X \sim Geo(p)$) právě tehdy, když
 	$$ f_X(x) = p(1 - p)^x $$
-	pro $x \in \mathbb{N}_0$. Taková náhodná veličina vyjadřuje počet neúspěchů před prvním úspěchem v posloupnosti nezávislých pokusů.
+	pro $x \in \N _0$. Taková náhodná veličina vyjadřuje počet neúspěchů před prvním úspěchem v posloupnosti nezávislých pokusů.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Negativně binomické rozdělení]
-	Náhodná veličina $X$ má \textit{negativně binomické rozdělení} s parametry $n \in \mathbb{N}$ a $p \in (0, 1)$ (píšeme $X \sim NB(n, p)$), jestliže platí
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{negativně binomické rozdělení} s parametry $n \in \N $ a $p \in (0, 1)$ (píšeme $X \sim NB(n, p)$), jestliže platí
 	$$ f_X(x) = \binom{n + x - 1}{n - 1} p^n(1 - p)^x $$
-	pro $x \in \mathbb{N}_0$. Rozdělení vyjadřuje počet neúspěchů před $n$-tým úspěchem v posloupnosti nezávislých pokusů. Specifický případ $NB(1, p) = Geo(p)$.
+	pro $x \in \N _0$. Rozdělení vyjadřuje počet neúspěchů před $n$-tým úspěchem v posloupnosti nezávislých pokusů. Specifický případ $NB(1, p) = Geo(p)$.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Poissonovo rozdělení]
 	Náhodná veličina $X$ má \textit{Poissonovo rozdělení} s parametrem $\lambda > 0$ (zapisujeme $X \sim Po(\lambda)$) právě tehdy, když
 	$$f_X(x) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}$$
-	pro $x \in \mathbb{N}_0$. Jestliže $X \sim Po(\lambda_X)$ a $Y \sim Po(\lambda_Y)$ jsou nezávislé, potom $X + Y \sim Po(\lambda_X + \lambda_Y)$. Jestliže $n \rightarrow \infty$ a $np \rightarrow \lambda < \infty$, potom $Bi(n, p)$ konverguje k $Po(\lambda)$.
+	pro $x \in \N _0$. Jestliže $X \sim Po(\lambda_X)$ a $Y \sim Po(\lambda_Y)$ jsou nezávislé, potom $X + Y \sim Po(\lambda_X + \lambda_Y)$. Jestliže $n \rightarrow \infty$ a $np \rightarrow \lambda < \infty$, potom $Bi(n, p)$ konverguje k $Po(\lambda)$.
 \end{definition}
 
 \subsection{Absolutně spojité náhodné veličiny}
@@ -247,9 +247,9 @@ Ukážeme si několik užitečných příkladů rozdělení (diskrétních a poz
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Normální rozdělení]
-	Náhodná veličina $X$ má \textit{normální (Gaussovo) rozdělení} s parametry $\mu \in \mathbb{R}$ a $\sigma^2 > 0$ (zapisujeme $X \sim N(\mu, \sigma^2)$) právě tehdy, když
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{normální (Gaussovo) rozdělení} s parametry $\mu \in \R $ a $\sigma^2 > 0$ (zapisujeme $X \sim N(\mu, \sigma^2)$) právě tehdy, když
 	$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left\{ - \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right\}$$
-	pro $x \in \mathbb{R}$.
+	pro $x \in \R $.
 \end{definition}
 
 Toto rozdělení je enormně důležité, uvedeme si proto několik jeho vlastností. Nejprve, máme-li $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, potom $Z := (X - \mu)/\sigma \sim N(0, 1)$. Tomuto rozdělení říkáme \textit{standardní normální rozdělení}. Dále, máme-li dvě nezávislé normálně rozdělené veličiny $X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2), Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$, potom $X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma_X^2 + \sigma_Y^2)$.
@@ -313,22 +313,22 @@ Přejdeme dále k vícerozměrným náhodným veličinám, jedním z jejich vyu
 
 \begin{definition}
 	Nechť $(\Omega, \mathcal{A})$ je měřitelný prostor. \textit{Náhodný vektor} je měřitelné zobrazení, které každému výsledku $\omega$ přiřadí reálný $d$-rozměrný vektor $\vec{X}(\omega)$. To znamená, že
-	$$ \vec{X} : \Omega \rightarrow \mathbb{R}^d \land \{\omega \in \Omega: \vec{X}(\omega) \leq \vec{x}\} \in \mathcal{A} \forall \vec{x} \in \mathbb{R}^d. $$
+	$$ \vec{X} : \Omega \rightarrow \R ^d \land \{\omega \in \Omega: \vec{X}(\omega) \leq \vec{x}\} \in \mathcal{A} \forall \vec{x} \in \R ^d. $$
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
-	\textit{Rozdělením náhodného vektoru} $\vec{X}: (\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow (\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ nazveme indukovanou pravděpodobnostní míru $P_{\vec{X}}$ na $(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ definovanou jako
+	\textit{Rozdělením náhodného vektoru} $\vec{X}: (\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow (\R ^d, \mathcal{B}(\R ^d))$ nazveme indukovanou pravděpodobnostní míru $P_{\vec{X}}$ na $(\R ^d, \mathcal{B}(\R ^d))$ definovanou jako
 	$$ P_{\vec{X}}(B) := P[\{\omega \in \Omega: \vec{X}(\omega) \in B\}] $$
-	pro všechny $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$.
+	pro všechny $B \in \mathcal{B}(\R ^d)$.
 \end{definition}
 
-Již na první pohled je zřejmá analogie s jednorozměrnými náhodnými veličinami v tom, že $P_{\vec{X}}$ je obraz míry $P$ v zobrazení $\vec{X}$, kde se původní pravděpodobnostní prostor zobrazí na $(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), P_{\vec{X}})$.
+Již na první pohled je zřejmá analogie s jednorozměrnými náhodnými veličinami v tom, že $P_{\vec{X}}$ je obraz míry $P$ v zobrazení $\vec{X}$, kde se původní pravděpodobnostní prostor zobrazí na $(\R ^d, \mathcal{B}(\R ^d), P_{\vec{X}})$.
 Platí, že pokud máme náhodný vektor $\vec{X} = [X_1, \dots, X_d]^T$, potom $X_i$ je náhodná veličina pro všechna $i \in \{1, \dots, d\}$ (důsledek definice, avšak platí i opačná implikace).
 
 \begin{definition}
-	Nechť $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ je pravděpodobnostní prostor. \textit{Sdružená distribuční funkce} náhodného vektoru $\vec{X}$ je funkce $F_{\vec{X}}: \mathbb{R}^d \rightarrow [0,1]$ definovaná jako
+	Nechť $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ je pravděpodobnostní prostor. \textit{Sdružená distribuční funkce} náhodného vektoru $\vec{X}$ je funkce $F_{\vec{X}}: \R ^d \rightarrow [0,1]$ definovaná jako
 	$$ F_{\vec{X}}(\vec{x}) = P(\vec{X} \leq \vec{x}) = P(\bigcup_{l=1}^d \{X_l \leq x_l\}) $$
-	pro všechna $\vec{x} = [x_1,\dots,x_d]^T \in \mathbb{R}^d$.
+	pro všechna $\vec{x} = [x_1,\dots,x_d]^T \in \R ^d$.
 \end{definition}
 
 Analogicky s náhodnými veličinami si zformulujeme tvrzení o základních vlastnostech sdružených distribučních funkcí.
@@ -343,7 +343,7 @@ Analogicky s náhodnými veličinami si zformulujeme tvrzení o základních vla
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-	Nejdříve dokážeme vlastnost (i). Fixujme $x_1,\dots,x_{l-1},x_{l+1},\dots,x_d \in \mathbb{R}$ a definujeme funkci $G(x) := F_{\vec{X}}(x_1,\dots,x_{l-1},x,x_{l+1},\dots,x_d)$. Z monotonie pravděpodobnosti je $G$ neklesající a nezáporná.
+	Nejdříve dokážeme vlastnost (i). Fixujme $x_1,\dots,x_{l-1},x_{l+1},\dots,x_d \in \R $ a definujeme funkci $G(x) := F_{\vec{X}}(x_1,\dots,x_{l-1},x,x_{l+1},\dots,x_d)$. Z monotonie pravděpodobnosti je $G$ neklesající a nezáporná.
 	Jelikož je $G$ neklesající, nutně existuje limita $\lim_{y\rightarrow x^+} G(y) \geq G(x)$. Dokážeme, že dochází k rovnosti (čímž dokážeme spojitost zprava).
 
 	Z Heineovy věty plyne, že $\lim_{y\rightarrow x^+} G(y) = \lim G(x + \frac{1}{n})$. Označme $B_n := (-\infty, x_1] \times \cdots \times (-\infty, x_{l-1}] \times (-\infty, x + \frac{1}{n}) \times (-\infty, x_{l+1}] \times \cdot \times (-\infty, x_n]$. Potom máme, že $B_n \searrow B := (-\infty, x_1] \times \cdots \times (-\infty, x_{l-1}] \times (-\infty, x]) \times (-\infty, x_{l+1}] \times \cdot \times (-\infty, x_n]$.
@@ -352,21 +352,21 @@ Analogicky s náhodnými veličinami si zformulujeme tvrzení o základních vla
 	$$\lim_{y\rightarrow x^+} G(y) = \lim_{n\rightarrow \infty} G(x + \frac{1}{n}) = \lim_{n\rightarrow \infty} P_{\vec{X}}(B_n) = P_{\vec{X}}\left(\bigcap_{n=1}^\infty B_n\right) = P_{\vec{X}}(B) = G(x),$$
 	čímž je ukončen důkaz vlastnosti (i).
 
-	K důkazu vlastnosti (ii) opět mějme pevná $x_1,\dots,x_{l-1},x_{l+1},\dots,x_d \in \mathbb{R}$. Opět uvažujme funkci $G$ z předchozí části důkazu, která je neklesající a nezáporná. Proto musí existovat její limita $\lim_{\vec{x} \rightarrow -\infty} = \lim_{n \rightarrow \infty} G(-n)$ (opět plyne z Heineovy věty). Definujme $C_n := (-\infty, x_1] \times \cdots \times (-\infty, x_{l-1}] \times (-\infty, -n]) \times (-\infty, x_{l+1}] \times \cdot \times (-\infty, x_n]$, potom platí že $C_n \searrow \emptyset$. Podobným argumentem jako posledně máme
+	K důkazu vlastnosti (ii) opět mějme pevná $x_1,\dots,x_{l-1},x_{l+1},\dots,x_d \in \R $. Opět uvažujme funkci $G$ z předchozí části důkazu, která je neklesající a nezáporná. Proto musí existovat její limita $\lim_{\vec{x} \rightarrow -\infty} = \lim_{n \rightarrow \infty} G(-n)$ (opět plyne z Heineovy věty). Definujme $C_n := (-\infty, x_1] \times \cdots \times (-\infty, x_{l-1}] \times (-\infty, -n]) \times (-\infty, x_{l+1}] \times \cdot \times (-\infty, x_n]$, potom platí že $C_n \searrow \emptyset$. Podobným argumentem jako posledně máme
 	$$\lim_{x_l \rightarrow -\infty} F(\vec{x}) = \lim_{x\rightarrow -\infty} G(x) = \lim_{n\rightarrow \infty} G(-n) = \lim_{n\rightarrow \infty} P_{\vec{X}} \left(\bigcap_{n=1}^\infty C_n\right) = P_{\vec{X}}(\emptyset) = 0,$$
 	čímž jsme dokázali vlastnost (ii).
 
 	Nakonec si uvědomíme, že podmínka z vlastnosti (iii) je ekvivalentní tomu, že $\lim_{n\rightarrow\infty} \min\{x_l\} = \infty$. Z již několikrát použité věty o spojitosti pravděpodobnosti máme, že $1 \geq F_{\vec{X}}(\vec{x}) \geq F_{\vec{X}} (\min\{x_l\} [1,\dots,1]^T )$. Stačí tedy dokázat, že poslední uvedená limita je rovna $\infty$.
 
 	 Položme $H(x) := F_{\vec{X}}(x[1,\dots,1]^T)$. Z monotonie pravděpodobnosti máme, že funkce $H$ je neklesající. Dále $0 \leq H(x) \leq 1$, tedy existuje $\lim_{x\rightarrow\infty} H(x) = \lim_{n\rightarrow\infty} H(n)$ (jako limita posloupnosti). Položme $D_n := (-\infty, n]^d$. Opět z věty o spojitosti míry můžeme psát
-	 $$\lim_{x_l \rightarrow +\infty \forall l} F(\vec{x}) = \lim_{n\rightarrow \infty} H(n) = \lim_{n\rightarrow \infty} P_{\vec{X}}(D_n) = P_{\vec{X}} (\mathbb{R}^d) = 1,$$
+	 $$\lim_{x_l \rightarrow +\infty \forall l} F(\vec{x}) = \lim_{n\rightarrow \infty} H(n) = \lim_{n\rightarrow \infty} P_{\vec{X}}(D_n) = P_{\vec{X}} (\R ^d) = 1,$$
 	 čímž jsme získali požadovanou rovnost.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}[Marginální distribuční funkce]
 	\label{thm-marginalization}
 	Pokud je $F_{\vec{X}}$ sdružená distribuční funkce náhodného vektoru $\vec{X} = [X_1,\dots,X_d]^T$, pak
-	$$ \lim_{x_d \rightarrow +\infty} F_{\vec{X}}(x_1,\dots,x_d) = F(x_1,\dots,x_{d-1}), \forall \vec{x}=[x_1,\dots,x_d]^T \in \mathbb{R}^d,$$
+	$$ \lim_{x_d \rightarrow +\infty} F_{\vec{X}}(x_1,\dots,x_d) = F(x_1,\dots,x_{d-1}), \forall \vec{x}=[x_1,\dots,x_d]^T \in \R ^d,$$
 	kde $F$ je distribuční funkce náhodného podvektoru $[X_1,\dots,X_{d-1}]^T$.
 \end{theorem}
 
@@ -377,17 +377,17 @@ Analogicky s náhodnými veličinami si zformulujeme tvrzení o základních vla
 Výše zmíněný limitní přechod můžeme opakovat vícekrát a ``marginalizovat" až na jednorozměrný případ. Navíc, složky můžeme permutovat, tedy v kombinaci s touto větou můžeme ``vyřadit" libovolnou složku.
 
 \begin{definition}[Marginální rozdělení]
-	Nechť $J \subseteq \{1,\dots d\}$ a $|J|=m$. Potom \textit{náhodný podvektor} definujeme jako $\vec{Y} \equiv \{X_l\}_{l\in J} : (\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow (\mathbb{R}^m, \mathcal{B}(\mathbb{R}^m))$ a \textit{marginálním rozdělením} rozumíme indukovanou pravděpodobnostní míru $P_{\vec{Y}}$ na prostoru $(\mathbb{R}^m, \mathcal{B}(\mathbb{R}^m))$. 
+	Nechť $J \subseteq \{1,\dots d\}$ a $|J|=m$. Potom \textit{náhodný podvektor} definujeme jako $\vec{Y} \equiv \{X_l\}_{l\in J} : (\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow (\R ^m, \mathcal{B}(\R ^m))$ a \textit{marginálním rozdělením} rozumíme indukovanou pravděpodobnostní míru $P_{\vec{Y}}$ na prostoru $(\R ^m, \mathcal{B}(\R ^m))$.
 \end{definition}
 
-Ve speciálním případě $J = \{1,\dots,m\}$ pak máme $P_{\vec{Y}}(B) = P_{\vec{X}}(B \times \mathbb{R}^{d - m})$. Pro $|J| = 1$ celkem snadno vidíme, že se jedná o náhodnou veličinu.
+Ve speciálním případě $J = \{1,\dots,m\}$ pak máme $P_{\vec{Y}}(B) = P_{\vec{X}}(B \times \R ^{d - m})$. Pro $|J| = 1$ celkem snadno vidíme, že se jedná o náhodnou veličinu.
 
 V následujících definicích definujeme spojité a diskrétní náhodné vektory podobně tomu, jak jsme to udělali u náhodných veličin.
 
 \begin{definition}
-	Náhodný vektor $\vec{X} = [X_1, \dots, X_d]^T$ nazveme \textit{diskrétní}, jestliže existují nejvýše spočetná množina $I \subseteq \mathbb{N}$ a posloupnosti $\{\vec{x}_i\}_{i\in I}$ prvků $\mathbb{R}^d$ a $\{p_i\}_{i\in I}$ prvků intervalu $(0, 1]$ takové, že platí
+	Náhodný vektor $\vec{X} = [X_1, \dots, X_d]^T$ nazveme \textit{diskrétní}, jestliže existují nejvýše spočetná množina $I \subseteq \N $ a posloupnosti $\{\vec{x}_i\}_{i\in I}$ prvků $\R ^d$ a $\{p_i\}_{i\in I}$ prvků intervalu $(0, 1]$ takové, že platí
 	$$ P_{\vec{X}} = \sum_{i \in I}p_i \delta_{\vec{x}_i} \text{ a } \sum_{i \in I} p_i = 1, $$
-	kde $\delta_{\vec{u}}$ značí Diracovu míru v $\vec{u} \in \mathbb{R}^d$.
+	kde $\delta_{\vec{u}}$ značí Diracovu míru v $\vec{u} \in \R ^d$.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
@@ -400,18 +400,18 @@ Pro spojité náhodné vektory si uvědomíme, že sdružená distribuční funk
 $$ f_{\vec{X}} (\vec{x}) = \frac{\partial^d}{\partial x_1 \dots \partial x_d} F_{\vec{X}}.$$
 Tento vztah platí $\lambda^d$-skoro všude a navíc v námi zkoumaných příkladech je $F_{\vec{X}}$ dostatečně hladká, tedy nezáleží na pořadí derivací. Potom také můžeme z hustoty spočítat distribuční funkci pomocí vztahu
 $$ F_{\vec{X}} (\vec{x})= \int_{-\infty}^{x_1} \dots \int_{-\infty}^{x_d} f_{\vec{X}}(t_1, \dots, t_d) dt_d \dots dt_1,$$
-pro všechna $\vec{x} = [x_1, \dots, x_d]^T \in \mathbb{R}^d$. Díky Fubiniově větě opět nezáleží na pořadí integrálů.
+pro všechna $\vec{x} = [x_1, \dots, x_d]^T \in \R ^d$. Díky Fubiniově větě opět nezáleží na pořadí integrálů.
 
 \hfill \textit{konec 6. přednášky (4.3.2025)}
 
 \begin{theorem}[Hustota vzhledem k součinové referenční míře]
 	\label{thm-density-product}
-	Nechť $P_{\vec{X}}$ je rozdělení náhodného vektoru $\vec{X} = [X_1, \dots, X_d]^T$ a nechť existují $\sigma$-konečné míry $\mu_l, l\in\{1,\dots,d\}$ na $\mathbb{R}$ takové, že pro jejich součin platí $P_{\vec{X}} \ll \mu_1 \otimes \cdots \otimes \mu_d$. Potom $P_{X_l} \ll \mu_l$ pro všechny složky $l \in \{1, \dots, d\}$. Dále pak existují nezáporné měřitelné funkce (hustoty) $f_{\vec{X}} : \mathbb{R}^d \rightarrow [0, \infty)$ a $f_{X_l}: \mathbb{R} \rightarrow [0, \infty)$ pro $l \in \{1, \dots, d\}$ takové, že
+	Nechť $P_{\vec{X}}$ je rozdělení náhodného vektoru $\vec{X} = [X_1, \dots, X_d]^T$ a nechť existují $\sigma$-konečné míry $\mu_l, l\in\{1,\dots,d\}$ na $\R $ takové, že pro jejich součin platí $P_{\vec{X}} \ll \mu_1 \otimes \cdots \otimes \mu_d$. Potom $P_{X_l} \ll \mu_l$ pro všechny složky $l \in \{1, \dots, d\}$. Dále pak existují nezáporné měřitelné funkce (hustoty) $f_{\vec{X}} : \R ^d \rightarrow [0, \infty)$ a $f_{X_l}: \R  \rightarrow [0, \infty)$ pro $l \in \{1, \dots, d\}$ takové, že
 	$$ P_{\vec{X}} (\times_{l=1}^d (-\infty, x_l]) = F_{\vec{X}}(\vec{x}) = \int_{\times_{l=1}^d (-\infty, x_l]} f_{\vec{X}} (\vec{t}) d(\mu_1\otimes\dots\otimes\mu_d) $$
-	pro všechna $\vec{x} = [x_1, \dots, x_d]^T$. Pro borelovskou množinu $B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ navíc platí
+	pro všechna $\vec{x} = [x_1, \dots, x_d]^T$. Pro borelovskou množinu $B\in \mathcal{B}(\R ^d)$ navíc platí
 	$$ P_{\vec{X}} (B) = \int_B f_{\vec{X}} (\vec{t}) d(\mu_1\otimes\dots\otimes\mu_d). $$
-	Potom také $F_{X_l} (x_l) = \int_{-\infty}^{x_l} f_{X_l} (t) d\mu_l$ pro všechna $x_l \in \mathbb{R}$ a všechny složky $l \in \{1, \dots, d\}$, kde
+	Potom také $F_{X_l} (x_l) = \int_{-\infty}^{x_l} f_{X_l} (t) d\mu_l$ pro všechna $x_l \in \R $ a všechny složky $l \in \{1, \dots, d\}$, kde
-	$$f_{X_l}(t) = \int_{\mathbb{R}^{d-1}} f_{\vec{X}} (t_1,\dots, t_d) d(\mu_1\otimes\dots\otimes\mu_{l-1}\otimes\mu_{l+1}\otimes\dots\otimes\mu_d) $$
+	$$f_{X_l}(t) = \int_{\R ^{d-1}} f_{\vec{X}} (t_1,\dots, t_d) d(\mu_1\otimes\dots\otimes\mu_{l-1}\otimes\mu_{l+1}\otimes\dots\otimes\mu_d) $$
 	platí $\mu_l$-skoro všude.
 \end{theorem}
 
@@ -425,7 +425,7 @@ Poznamenejme, že předpoklad existence příslušných měr je automaticky spln
 	Mějme absolutně spojitý náhodný vektor $[X, Y]^T$. Potom existuje jeho sdružená distribuční funkce $F_{[X, Y]^T}(x, y)$. Chceme-li dostat jednorozměrnou distribuční funkci $F_X(x)$, s použitím Věty \ref{thm-marginalization} dostáváme $F_X(x) = \lim_{y \rightarrow \infty} F_{[X, Y]^T} (x, y)$. Potom jeho hustotu dostaneme, zderivováním $f_X(x) = F'_X(x)$. Navíc z předchozí věty (Věta \ref{thm-density-product}) máme, že existuje sdružená hustota $f_{[X, Y]^T}(x, y) = \pdv*{F_{[X, Y]^T}}{x, y}(x, y)$. Pro získání jednorozměrné hustoty $f_X$ pak už jen stačí zintegrovat podle $y$ přes celou reálnou osu.
 \end{example}
 
-Nechť $\vec{X}$ je diskrétní náhodný vektor a $\nu$ čítací míra na $\{\vec{x}_i\}_{i \in I} \subset \mathbb{R}^d$, pak hustotu tohoto vektoru vzhledem k čítací míře $\nu$ nazýváme \textit{pravděpodobnostní funkcí} diskrétního mnohorozměrného rozdělení $\vec{X}$.
+Nechť $\vec{X}$ je diskrétní náhodný vektor a $\nu$ čítací míra na $\{\vec{x}_i\}_{i \in I} \subset \R ^d$, pak hustotu tohoto vektoru vzhledem k čítací míře $\nu$ nazýváme \textit{pravděpodobnostní funkcí} diskrétního mnohorozměrného rozdělení $\vec{X}$.
 
 \begin{example}
 	Uvažujme dvojrozměrný náhodný vektor $[X, Y]^T$. Pro přehlednost uvedeme i řádkové/sloupcové součty (jde o marginální hustoty).
@@ -462,7 +462,7 @@ $$ \lim_{x_j \rightarrow \infty \forall j \in \{1, \dots, d\} \setminus l} F_{\v
 $$ P[X_l \leq x_l] =: F_{X_l}(x_l). $$
 
 \begin{definition}
-	Náhodné veličiny $X_1, \dots, X_d$ jsou \textit{nezávislé}, pokud $F_{\vec{X}} (\vec{x}) = \prod_{l = 1}^d F_{X_l} (x_l)$ pro každý vektor $\vec{x} = [x_1 \dots, x_d]^T \in \mathbb{R}^d$.
+	Náhodné veličiny $X_1, \dots, X_d$ jsou \textit{nezávislé}, pokud $F_{\vec{X}} (\vec{x}) = \prod_{l = 1}^d F_{X_l} (x_l)$ pro každý vektor $\vec{x} = [x_1 \dots, x_d]^T \in \R ^d$.
 \end{definition}
 
 Analogicky s předchozí definicí definujeme nezávislost náhodných vektorů. V literatuře se vyskytuje i jiná, ekvivaletní, definice nezávislosti, kterou uvedeme později.
@@ -470,13 +470,13 @@ Analogicky s předchozí definicí definujeme nezávislost náhodných vektorů.
 \begin{definition}
 	Náhodné vektory $\vec{X}_1, \dots, \vec{X}_d$ jsou \textit{nezávislé}, pokud
 	$$ F_{\vec{X}} (\vec{x}) = \prod_{l=1}^d F_{\vec{X}_l} (\vec{x}_l) $$
-	pro každý ``nad-vektor" $\vec{x} = [\vec{x}_1^T, \dots, \vec{x}_d^T]^T \in \mathbb{R}^{\sum_{l=1}^d d_l}$ kde $\vec{X} = [\vec{X}_1^T,\dots, X_d^T]^T$ a $\vec{X}_l$ jsou $d_l$-rozměrné náhodné vektory pro všechna $l \in \{1, \dots d\}$.
+	pro každý ``nad-vektor" $\vec{x} = [\vec{x}_1^T, \dots, \vec{x}_d^T]^T \in \R ^{\sum_{l=1}^d d_l}$ kde $\vec{X} = [\vec{X}_1^T,\dots, X_d^T]^T$ a $\vec{X}_l$ jsou $d_l$-rozměrné náhodné vektory pro všechna $l \in \{1, \dots d\}$.
 \end{definition}
 
 Dalším důležitým pojmem je takzvaný nosič náhodné veličiny. Rozumíme tím v zásadě množinu, kde náhodná veličina ``žije". Uvedeme zde definici pro diskrétní a spojité náhodné veličiny. Tyto pojmy se budou hodit pro vymezení prostoru, přes který poté budeme integrovat.
 
 \begin{definition}
-	\textit{Nosičem} diskrétní náhodné veličiny $X$ nazýváme následující množinu $S(X) = \{x \in \mathbb{R}: P[X = x] > 0\}$. \textit{Nosičem} spojité náhodné veličiny $Y$ rozumíme množinu $S(Y) = \{y \in \mathbb{R}: f_Y(y) > 0\}$. Obdobně definujeme i nosič náhodného vektoru (cvičení).
+	\textit{Nosičem} diskrétní náhodné veličiny $X$ nazýváme následující množinu $S(X) = \{x \in \R : P[X = x] > 0\}$. \textit{Nosičem} spojité náhodné veličiny $Y$ rozumíme množinu $S(Y) = \{y \in \R : f_Y(y) > 0\}$. Obdobně definujeme i nosič náhodného vektoru (cvičení).
 \end{definition}
 
 \begin{theorem}[Ekvivalentní charakterizace nezávislosti]
@@ -494,7 +494,7 @@ Dalším důležitým pojmem je takzvaný nosič náhodné veličiny. Rozumíme
 
 	Nejdříve dokážeme implikaci $\Rightarrow$. Uvažujme vektor $\vec{x} = [x_1,\dots,x_d]^T$. Potom z definice nezávislosti a linearity integrálu dostáváme
 	$$ F_{\vec{X}}(\vec{x}) = \prod_{l=1}^d F_{X_l}(x_l) = \prod_{l=1}^d \int_{-\infty}^{x_l} f_{x_l} (t_l) d\mu_l = \int_{-\infty}^{x_1} \cdots \int_{-\infty}^{x_d} \prod_{l=1}^d f_{x_l}(t_l)d\mu_d\cdots d\mu_1,$$
-	kde druhá rovnost plyne z věty o hustotě vzhledem k součinové referenční míře (Věta \ref{thm-density-product}) s mírou $\lambda^d$, případně sčítací mírou $\nu$ na $\mathbb{R}^d$. Dále díky Fubiniově větě můžeme pokračovat v úpravách
+	kde druhá rovnost plyne z věty o hustotě vzhledem k součinové referenční míře (Věta \ref{thm-density-product}) s mírou $\lambda^d$, případně sčítací mírou $\nu$ na $\R ^d$. Dále díky Fubiniově větě můžeme pokračovat v úpravách
 	$$ \int_{-\infty}^{x_1} \cdots \int_{-\infty}^{x_d} \prod_{l=1}^d f_{x_l}(t_l)d\mu_d\cdots d\mu_1 = \int_{(-\infty, \vec{x}]} \prod_{l=1}^d f_{x_l} (t_l) d(\mu_1 \otimes \cdots \otimes \mu_d).$$
 	Pak už ale nutně musí platit $f_{\vec{X}}(t_1, \dots, t_d) = \prod_{l=1}^d f_{x_l} (t_l)$.
 
@@ -521,15 +521,15 @@ Dalším důležitým pojmem je takzvaný nosič náhodné veličiny. Rozumíme
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-	Začneme implikací zprava doleva ($\Leftarrow$). Jestliže pro všechny množiny $B_l \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), l = 1,\dots,d$ platí
+	Začneme implikací zprava doleva ($\Leftarrow$). Jestliže pro všechny množiny $B_l \in \mathcal{B}(\R ), l = 1,\dots,d$ platí
 	$$ P_{\vec{X}} (\times_{l=1}^d B_l) = \prod_{l=1}^d P_{X_l}(B_l), $$
 	pak vezmeme $B_l = (-\infty,x_l]$ pro fixní $\vec{x} = [x_1, \dots, x_d]$ generátory borelovské $\sigma$-algebry a můžeme počítat
 	$$ F_{\vec{X}} (\vec{x}) = P_{\vec{X}}(\times_{l=1}^d (-\infty, x_l]) = \prod_{l = 1}^d P_{X_l} ((-\infty, x_l]) = \prod_{l = 1}^d F_{X_l} (x_l), $$
 	což je přímo definice nezávislosti.
 
-	K důkazu opačné implikace (předpokládáme platnost $F_{\vec{X}} (\vec{x}) = \prod_{l=1}^d F_{X_l} (x_l)$ pro všechna $\vec{x} \in \mathbb{R}^d$) použijeme Dynkinův systém
+	K důkazu opačné implikace (předpokládáme platnost $F_{\vec{X}} (\vec{x}) = \prod_{l=1}^d F_{X_l} (x_l)$ pro všechna $\vec{x} \in \R ^d$) použijeme Dynkinův systém
-	$$ D = \left\{ \times_{l = 1}^d (-\infty, x_l], x_l \in \mathbb{R}, \forall l \in \{1,\dots,d\}\right\}. $$
+	$$ D = \left\{ \times_{l = 1}^d (-\infty, x_l], x_l \in \R , \forall l \in \{1,\dots,d\}\right\}. $$
-	Tento systém je uzavřený na průniky a generuje celou borelovskou $\sigma$-algebru $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$. Jelikož $P_{\vec{X}}(\mathbb{R}^d) = 1$, dostáváme z věty o jednoznačnosti míry rovnost obou měr ($P_{\vec{X}}$ a $\otimes_{l=1}^d P_{X_l}$) na celé $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$.
+	Tento systém je uzavřený na průniky a generuje celou borelovskou $\sigma$-algebru $\mathcal{B}(\R ^d)$. Jelikož $P_{\vec{X}}(\R ^d) = 1$, dostáváme z věty o jednoznačnosti míry rovnost obou měr ($P_{\vec{X}}$ a $\otimes_{l=1}^d P_{X_l}$) na celé $\mathcal{B}(\R ^d)$.
 \end{proof}
 
 Vrátíme se opět k podmíněnosti, tentokrát budeme zkoumat podmíněnost náhodných veličin. Motivačním příkladem budiž zjištění průměrné mzdy občana, který vystudoval MatFyz na základě znalosti průměrné mzdy všech občanů ČR. Opět se jedná o zjednodušenou definici, ta obecnější bude uvedena v pokročilejších kurzech.
@@ -549,7 +549,7 @@ Je třeba si uvědomit, že podmíněná pravděpodobnostní funkce (hustota) js
 V dalších kapitolách budeme pracovat s mnohorozměrným normálním rozdělením, je proto vhodné si ho zadefinovat už teď. V obecném případě nestačí zadefinovat chování po složkách, je třeba nějakým způsobem zahrnout i vztahy mezi jednotlivými složkami.
 
 \begin{definition}
-	Náhodný vektor $\vec{X} = [X_1, \dots, X_d]^T$ má $d$-\textit{rozměrné normální rozdělení} s parametry $\mu \in \mathbb{R}^d$ a $\Sigma \in \mathbb{R}^{d \times d}$ (značíme $X \sim N_d(\mu, \Sigma)$), pokud existuje $k$-rozměrný náhodný vektor $\vec{Y} = [Y_1, \dots, Y_k]^T$ a matice $\mathbb{A} \in \mathbb{R}^{d \times k}$ takové, že
+	Náhodný vektor $\vec{X} = [X_1, \dots, X_d]^T$ má $d$-\textit{rozměrné normální rozdělení} s parametry $\mu \in \R ^d$ a $\Sigma \in \R ^{d \times d}$ (značíme $X \sim N_d(\mu, \Sigma)$), pokud existuje $k$-rozměrný náhodný vektor $\vec{Y} = [Y_1, \dots, Y_k]^T$ a matice $\mathbb{A} \in \R ^{d \times k}$ takové, že
 	\begin{enumerate}[(i)]
 		\item $\{Y_1, \dots, Y_k\}$ jsou nezávislé;
 		\item $Y_j \sim N(0, 1)$ pro všechny složky $j \in \{1, \dots, k\}$;
@@ -562,7 +562,7 @@ Takto komplikovaná definice je potřeba, neboť matice $\Sigma$ nutně nemusí
 
 Na závěr se budeme chvíli věnovat transformacím náhodných veličin. V obecném případě je možné formalizovat tuto představu pomocí věty o substituci z TMI, avšak pro naše účely postačí uvést jen několik speciálních případů.
 
-Mějme diskrétní náhodnou veličinu $X$ a ne nutně monotónní funkci $t: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, pro kterou platí $Y := t(X)$. Chceme odvodit pravděpodobnostní funkci $P[Y = y]$. Můžeme psát
+Mějme diskrétní náhodnou veličinu $X$ a ne nutně monotónní funkci $t: \R \rightarrow \R $, pro kterou platí $Y := t(X)$. Chceme odvodit pravděpodobnostní funkci $P[Y = y]$. Můžeme psát
 $$ P[Y = y] = P[t(X) = y] = P[X \in t^{-1}(y)] = \sum_{t(x) = y} P[X = x]. $$
 
 Dále mějme spojitou náhodnou veličinu $X$, známe její hustotu $f_X(x)$. Cílem je spočítat hustotu $f_Y(y)$, kde $Y = t(X)$. Pro každé $y$ můžeme nalézt množinu $\mathcal{T}_y = \{x: t(x) \leq y\}$. Poté můžeme spočítat distribuční funkci rozdělení $Y$.
@@ -574,7 +574,7 @@ $$ P[Z = z] = P[t(X, Y) = z] = P[\omega: t([X, Y]^T(\omega)) = z] = $$
 $$ P[[X, Y]^T \in t^{-1} (z)] = \sum_{t(x, y) = z} P[X = x, Y = y].$$
 
 Nakonec mějme spojitý náhodný vektor $[X, Y]^T$, pro nějž známe hustotu $f_{[X, Y]^T}(x, y)$ a chceme získat hustotu $f_Z(z)$, jestliže náhodná veličina $Z$ je definována $Z := t(X, Y)$.
-V analogii se spojitou náhodnou veličinou nalezneme pro každé $z \in \mathbb{R}$ množinu $\mathcal{T}(z) = \{ [x, y]: t(x, y) \leq z \}$. Opět spočteme distribuční funkci $F_Z$ pomocí následujících kroků
+V analogii se spojitou náhodnou veličinou nalezneme pro každé $z \in \R $ množinu $\mathcal{T}(z) = \{ [x, y]: t(x, y) \leq z \}$. Opět spočteme distribuční funkci $F_Z$ pomocí následujících kroků
 $$ F_Z(z) = P[Z \leq z] = P[t(X, Y) \leq z] = P[\omega: t([X, Y]^T(\omega)) \leq z] = $$
 $$ \iint_{\mathcal{T}(z)} f_{[X, Y]^T} (x, y) dxdy,$$
 hustotu $f_Z$ opět můžeme získat pomocí zderivování funkce $F_Z$.

skripta.tex

@@ -22,6 +22,15 @@
 \newtheorem{example}[theorem]{Příklad}
 \newtheorem{convention}[theorem]{Úmluva}
 
+\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
+\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}
+\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}
+\DeclareMathOperator{\sd}{sd}
+
+\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand*{\N}{\mathbb{N}}
+\newcommand*{\E}{\mathbb{E}}
+
 \title{Pravděpodobnost a matematická statistika (NMSA202)}
 \author{Petr Velička \footnote{\href{mailto:petrvel@matfyz.cz}{petrvel@matfyz.cz}}\\přednášející: doc. RNDr. Michal Pešta, Ph.D. \footnote{\href{mailto:pesta@karlin.mff.cuni.cz}{pesta@karlin.mff.cuni.cz}}}
 \date{LS 2024/25}

stredni-hodnota.tex

@@ -4,7 +4,7 @@ V této kapitole se budeme věnovat pojmu střední hodnoty, laicky řečeno, ko
 
 \begin{definition}
 	\textit{Střední hodnota} náhodné veličiny $X$ je reálné číslo
-	$$ \mathbb{E}[X] = \mathbb{E}X = \int XdP \equiv \int X(\omega) dP(\omega), $$
+	$$ \E [X] = \E X = \int XdP \equiv \int X(\omega) dP(\omega), $$
 	pokud pravá strana existuje.
 \end{definition}
 
@@ -12,25 +12,25 @@ Tato definice je velmi teoretická, k praktickému výpočtu se hodí následuj
 
 \begin{theorem}
 	\label{thm-expected-value}
-	Střední hodnota náhodné veličiny $X$ je $\mathbb{E}X = \int x dP_X(x)$, pokud pravá strana existuje.
+	Střední hodnota náhodné veličiny $X$ je $\E X = \int x dP_X(x)$, pokud pravá strana existuje.
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-	Z věty o přenosu integrace (\ref{thm-pushforward-measure}) při volbě $g = Id$ a $(\mathbb{M}, \mathcal{M}) = (\mathbb{R}, \mathcal{B})$ dostáváme požadované tvrzení.
+	Z věty o přenosu integrace (\ref{thm-pushforward-measure}) při volbě $g = Id$ a $(\mathbb{M}, \mathcal{M}) = (\R , \mathcal{B})$ dostáváme požadované tvrzení.
 \end{proof}
 
 Z Radon-Nikodymovy věty ihned plyne následující pozorování
 
 \begin{observation}
 Střední hodnota veličiny $X$ je
-	$$ \mathbb{E}X = \begin{cases}\int_{-\infty}^\infty xf_X(x) dx, X \text{ spojitá};\\
+	$$ \E X = \begin{cases}\int_{-\infty}^\infty xf_X(x) dx, X \text{ spojitá};\\
 	\sum_{x \in S(X)} xP[X = x], X \text{ diskrétní}. \end{cases} $$
 \end{observation}
 
 Střední hodnota nemusí existovat vždy, jeden z takových případů uvedeme v následujícím příkladu.
 
 \begin{example}
-	Pokud $X \sim Cauchy$ (Definice \ref{def-cauchy}), pak $\mathbb{E}X$ neexistuje. Pomocí integrování per partes můžeme počítat
+	Pokud $X \sim Cauchy$ (Definice \ref{def-cauchy}), pak $\E X$ neexistuje. Pomocí integrování per partes můžeme počítat
 	$$ \int_0^\infty \frac{x}{\pi(1 + x^2)} dx = [x \arctan(x)]_0^\infty - \int_0^\infty \arctan(x) dx = \infty. $$
 	Dostali jsme, že pro integrál přes celou reálnou přímku není definován výraz $\infty - \infty$.
 \end{example}
@@ -39,29 +39,29 @@ Uvažujme teď transformaci $Y = t(X)$. Následující věta nám umožní poč
 
 \begin{theorem}[Pravidlo líného statitika]
 	\label{thm-lazy-statistician}
-	Buď $t: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ měřitelná funkce a nechť $Y = t(X)$, kde $X$ je nějaká náhodná veličina. Pak
+	Buď $t: \R  \rightarrow \R $ měřitelná funkce a nechť $Y = t(X)$, kde $X$ je nějaká náhodná veličina. Pak
-	$$ \mathbb{E} Y = \int t(x) dP_X(x), $$
+	$$ \E  Y = \int t(x) dP_X(x), $$
 	pokud pravá strana existuje.
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
 	Z Věty \ref{thm-pushforward-measure} dostáváme
-	$$ \mathbb{E} Y = \mathbb{E} [ t(X) ] = \int_\mathbb{R} t(X(\omega)) dP(\omega) = \int_\mathbb{R} t(x) dP_X(x). $$
+	$$ \E  Y = \E  [ t(X) ] = \int_\R  t(X(\omega)) dP(\omega) = \int_\R  t(x) dP_X(x). $$
 \end{proof}
 
 Poznamenejme si explicitní vzorce pro transformaci spojitých a diskrétní náhodných veličin, které jsou přímým důsledkem předchozí věty:
 
 \begin{corollary}
-	Mějme náhodné veličiny $X$ a $Y$ takové, že platí $Y = t(X)$ pro nějakou transformaci $t: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Má-li $X$ diskrétní rozdělení, potom
+	Mějme náhodné veličiny $X$ a $Y$ takové, že platí $Y = t(X)$ pro nějakou transformaci $t: \R  \rightarrow \R $. Má-li $X$ diskrétní rozdělení, potom
-	$$ \mathbb{E}Y = \sum_{x \in S(x)} t(x) P[X = x]. $$
+	$$ \E Y = \sum_{x \in S(x)} t(x) P[X = x]. $$
 	Je-li $X$ spojitá, potom platí
-	$$ \mathbb{E}Y = \int_{\mathbb{R}} t(x) f_X(x) dx. $$
+	$$ \E Y = \int_{\R } t(x) f_X(x) dx. $$
 \end{corollary}
 
 Přímé využití pravidla líného statistika si uvedeme v definici a aplikacích následujícího pojmu, který jistým způsobem umožňuje charakterizovat chování rozdělení.
 
 \begin{definition}
-	Pro reálné číslo $k$ definujeme $k$-tý \textit{moment} náhodné veličiny $X$ jako $\mathbb{E}[X^k]$ za předpokladu, že $\mathbb{E}[|X|^k] < \infty$. Dále definujeme $k$-tý \textit{absolutní moment} jako $\mathbb{E}[|X|^k]$, pokud existuje.
+	Pro reálné číslo $k$ definujeme $k$-tý \textit{moment} náhodné veličiny $X$ jako $\E [X^k]$ za předpokladu, že $\E [|X|^k] < \infty$. Dále definujeme $k$-tý \textit{absolutní moment} jako $\E [|X|^k]$, pokud existuje.
 \end{definition}
 
 V praxi se nejčastěji setkáme s momenty jen pro $k$ přirozené, pokud nebude řečeno jinak, všechny momenty budou mít přirozený parametr.
@@ -72,47 +72,171 @@ V praxi se nejčastěji setkáme s momenty jen pro $k$ přirozené, pokud nebude
 
 \begin{proof}
 	Potřebujeme ukázat, že $E[|X|^l] < \infty$. Můžeme počítat
-	$$ \mathbb{E}[|X|^l] = \int_\mathbb{R} |x|^l dP_X(x) = \int_{|x| \leq 1} |x|^l dP_X(x) + \int_{|x| > 1} |x|^l dP_X(x) \leq $$
+	$$ \E [|X|^l] = \int_\R  |x|^l dP_X(x) = \int_{|x| \leq 1} |x|^l dP_X(x) + \int_{|x| > 1} |x|^l dP_X(x) \leq $$
-	$$ \int_{|x| \leq 1} dP_X(x) + \int_{|x| > 1} |x|^k dP_X(x) \leq \int_\mathbb{R} dP_X(x) + \int_\mathbb{R} |x|^k dP_X(x).$$
+	$$ \int_{|x| \leq 1} dP_X(x) + \int_{|x| > 1} |x|^k dP_X(x) \leq \int_\R  dP_X(x) + \int_\R  |x|^k dP_X(x).$$
-	Dostáváme $1 + \mathbb{E}[|X|^k] < \infty$, čímž je důkaz ukončen.
+	Dostáváme $1 + \E [|X|^k] < \infty$, čímž je důkaz ukončen.
 \end{proof}
 
 Některá zobrazení mají jen několik prvních momentů a žádné vyšší momenty neexistují, jako například Studentovo $t$-rozdělení (Definice \ref{def-student}) s $\nu = 3$ stupni volnosti.
 
 \begin{example}
-	Pro $X \sim t_3$ platí $\mathbb{E}X = 0$, $\mathbb{E}X^2 = 2$ ale $\mathbb{E}|X|^3 = \infty$. (cvičení, použijte per partes)
+	Pro $X \sim t_3$ platí $\E X = 0$, $\E X^2 = 2$ ale $\E |X|^3 = \infty$. (cvičení, použijte per partes)
 \end{example}
 
 Definujeme dále $\mathcal{L}^p$ prostory náhodných veličin, které jsou podobné $L^p$ prostorům z teorie míry a funkcionální analýzy.
 
 \begin{definition}
-	Pro přirozené číslo $p$ definujeme prostor $\mathcal{L}^p$ tak, že náhodná veličina $X \in \mathcal{L}^p$, jestliže $\mathbb{E}[|X|^p] < \infty$.
+	Pro reálné číslo $p$ (v praxi se vystačíme pouze s případem $p \geq 1$) definujeme prostor $\mathcal{L}^p$ tak, že náhodná veličina $X \in \mathcal{L}^p$, jestliže $\E [|X|^p] < \infty$.
 \end{definition}
 
-V následující větě shrneme pár základních vlastností prostoru $\mathcal{L}^1$, které se mohou hodit při praktických aplikacích.
+Ukážeme si pár základních vlastností prostoru $\mathcal{L}^1$, které se mohou hodit při praktických aplikacích.
 
 \begin{theorem}[Základní vlastnosti prostoru $\mathcal{L}^1$]
 	Nechť jsou dány $X_1, \dots, X_d \in \mathcal{L}^1$ a $a_1, \dots, a_d$ jsou konstanty, pak platí linearita ve smyslu
-	$$ \mathbb{E} \left(\sum_{l = 1}^d a_l X_l \right) = \sum_{l = 1}^d a_l \mathbb{E}X_l. $$
+	$$ \E  \left(\sum_{l = 1}^d a_l X_l \right) = \sum_{l = 1}^d a_l \E X_l. $$
 
 	Dále mějme $X_1, \dots, X_d \in \mathcal{L}^1$ nezávislé náhodné veličiny, potom platí
-	$$ \mathbb{E} \left(\prod_{l = 1}^d X_l\right) = \prod_{l = 1}^d \mathbb{E}X_l.$$
+	$$ \E  \left(\prod_{l = 1}^d X_l\right) = \prod_{l = 1}^d \E X_l.$$
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
 	Linearita plyne z věty o přenosu integrace (Věta \ref{thm-pushforward-measure}) a linearity Lebesgueova integrálu.
 	
-	Dokážeme druhou vlastnost. Nejprve ukážeme, že hledaná střední hodnota je dobře definovaná. Uvažujme posloupnost funkcí $\{g_n: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}\}$ definovaných jako $g_n(\vec{x}) = \prod_{l = 1}^d |x_l| \chi_{\{|x_l| \leq n\}}$. Pak pro každé $n \in \mathbb{N}$ je $g_n(\vec{X})$ omezená a existuje její první moment $\mathbb{E} [g_n(\vec{X})] \in \mathbb{R}$. Díky nezávislosti můžeme psát
+	Dokážeme druhou vlastnost. Nejprve ukážeme, že hledaná střední hodnota je dobře definovaná. Uvažujme posloupnost funkcí $\{g_n: \R ^d \rightarrow \R \}$ definovaných jako $g_n(\vec{x}) = \prod_{l = 1}^d |x_l| \chi_{\{|x_l| \leq n\}}$. Pak pro každé $n \in \N $ je $g_n(\vec{X})$ omezená a existuje její první moment $\E  [g_n(\vec{X})] \in \R $. Díky nezávislosti můžeme psát
-	$$ \mathbb{E} [g_n(\vec{X})] = \int_{\mathbb{R}^d} \prod_{l = 1}^d |x_l| \chi_{\{|x_l| \leq n\}} d(\otimes_{l = 1}^d P_{X_l}), $$
+	$$ \E  [g_n(\vec{X})] = \int_{\R ^d} \prod_{l = 1}^d |x_l| \chi_{\{|x_l| \leq n\}} d(\otimes_{l = 1}^d P_{X_l}), $$
 	odkud z Fubiniovy věty a následně linearity integrálu plyne
-	$$ = \int_\mathbb{R} \cdots \int_\mathbb{R} \prod_{l = 1}^d |x_l| \chi_{\{|x_l| \leq n\}} dP_{X_1} \cdots dP_{X_d} = \prod_{l = 1}^d \mathbb{E}[|X_l| \chi_{\{|X_l| \leq n\}}] \leq \prod_{l = 1}^d \mathbb{E}[|X_l|]. $$
+	$$ = \int_\R  \cdots \int_\R  \prod_{l = 1}^d |x_l| \chi_{\{|x_l| \leq n\}} dP_{X_1} \cdots dP_{X_d} = \prod_{l = 1}^d \E [|X_l| \chi_{\{|X_l| \leq n\}}] \leq \prod_{l = 1}^d \E [|X_l|]. $$
 
-	Platí, že funkce $g_n(\vec{x})$ jsou nezáporné a $g_n(\vec{x}) \uparrow \prod_{l = 1}^d |x_l|$ na celém $\mathbb{R}^d$. Tudíž z Leviho věty plyne, že $\mathbb{E}[g_n(X)] \uparrow \mathbb{E}[\prod_{l=1}^d |X_l|]$. Potom ale nutně $\mathbb{E}\left|\prod_{l=1}^d X_l \right| \leq \prod_{l = 1}^d \mathbb{E}|X_l| < \infty$, tedy příslušný první moment existuje.
+	Platí, že funkce $g_n(\vec{x})$ jsou nezáporné a $g_n(\vec{x}) \uparrow \prod_{l = 1}^d |x_l|$ na celém $\R ^d$. Tudíž z Leviho věty plyne, že $\E [g_n(X)] \uparrow \E [\prod_{l=1}^d |X_l|]$. Potom ale nutně $\E \left|\prod_{l=1}^d X_l \right| \leq \prod_{l = 1}^d \E |X_l| < \infty$, tedy příslušný první moment existuje.
 
 	Dále můžeme počítat
-	$$ \mathbb{E}\left[\prod_{d=1}^l X_l \right] = \int_{\mathbb{R}^d} \prod_{l=1}^d x_l dP_{\vec{X}} = \int_{\mathbb{R}} \prod_{l=1}^d x_l d(\otimes_{l=1}^d P_{X_l}) = $$
+	$$ \E \left[\prod_{d=1}^l X_l \right] = \int_{\R ^d} \prod_{l=1}^d x_l dP_{\vec{X}} = \int_{\R } \prod_{l=1}^d x_l d(\otimes_{l=1}^d P_{X_l}) = $$
-	$$ \int_{\mathbb{R}}\cdots\int_{\mathbb{R}} \prod_{l=1}^d x_l dP_{X_1} \cdots dP_{X_d} = \prod_{l=1}^d \int_\mathbb{R} x_l dP_{X_l} = \prod_{l=1}^d \mathbb{E}X_l, $$
+	$$ \int_{\R }\cdots\int_{\R } \prod_{l=1}^d x_l dP_{X_1} \cdots dP_{X_d} = \prod_{l=1}^d \int_\R  x_l dP_{X_l} = \prod_{l=1}^d \E X_l, $$
 	kde druhá rovnost plyne z nezávislosti náhodných veličin $X_1,\dots,X_d$, třetí z Fubiniovy věty a předposlední z linearity integrálu.
 \end{proof}
 
 \hfill \textit{konec 8. přednášky (11.3.2025)}
+
+Teď definujeme další neplnohodnotnou (jinými slovy, neurčuje danou náhodnou veličinu, případně její rozdělení jednoznačně) charakteristiku. (Poznámka: příkladem plnohodnotné charakteristiky je distribuční funkce rozdělení)
+
+\begin{definition}
+	\textit{Rozptyl} náhodné veličiny $X$ je definován jako
+	$$ \Var X = \E  (X - \E  X) ^ 2, $$
+	za předpokladu, že pravá strana je dobře definovaná. Pak \textit{směrodatná odchylka} tytéž náhodné veličiny je definovaná je
+	$$ \sd(X) = \sqrt{\Var X}. $$
+\end{definition}
+
+Uvědomme si, že některé volby charakterizování variability rozdělení nejsou vhodné, například na první pohled logické ``$\E (X - \E X)$" je nulová všude, kde je definovaná.
+
+\begin{theorem}[Vlastnosti rozptylu]
+	\label{thm-properties-disp}
+	Za předpokladu, že uvažované druhé momenty jsou konečné, potom
+	$$ \Var X = \E (X^2) - (\E (X))^2 \geq 0. $$
+	Pokud $a, b \in \R $, pak
+	$$ \Var (aX + b) = a^2 \Var X, $$
+	jinými slovy, rozptyl se chová jako kvadratická forma.
+	Pokud $X_1, \dots, X_2$ jsou nezávislé a $a_1, \dots, a_d$ jsou reálné konstanty, pak
+	$$ \Var \left(\sum_{l=1}^d a_l X_l\right) = \sum_{l=1}^d a_l^2 \Var X_l. $$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Dokážeme první vlastnost. Máme
+	$$ \Var X = \E [(X - \E X)^2] = \E [X^2-2X(\E X) + (\E X)^2] = \E X^2 - 2(\E X)^2 + (\E X)^2, $$
+	kde předposlední rovnost plyne z linearity střední hodnoty a faktu, že $E[c] = c$ pro konstantu $c$. Nezápornost plyne z toho, že počítáme střední hodnotu nezáporné náhodné veličiny.
+
+	Dále pro druhou vlastnost pišme
+	$$ \Var (aX + b) = \E \left[(aX + b - \E (aX + b))^2\right] = \E [a^2\left(X - \E X\right)^2], $$
+	kde druhá rovnost plyne z linearity střední hodnoty a rovnosti $ b = \E b$, dále můžeme psát
+	$$ \E [a^2\left(X - \E X\right)^2] = a^2 \E (X - \E X)^2 = a^2 \Var X. $$
+
+	K důkazu poslední vlastnosti začneme opět rozepsáním definice
+	$$ \Var \left(\sum_{l = 1}^d a_l X_l \right) = \E \left[ \sum_{l = 1}^d a_l X_l - \E \left( \sum_{l=1}^d a_l X_l \right)^2 \right] = \E \left[ \sum_{l = 1}^d a_l(X_l - EX_l)\right]^2 = $$
+	$$ \E \left[ \sum_{l = 1}^d a_l^2(X_l - \E X_l)^2 + 2\sum_{1 \leq j < l \leq d} a_j a_l (X_j - \E X_j) (X_l - \E X_l) \right] = $$
+	$$ \sum_{l = 1}^d a_l^2 \E(X_l - \E X_l)^2 + 2 \sum_{1 \leq j < l \leq d} a_j a_l \E (X - \E X_j) (X_l - \E X_l) = \sum_{l = 1}^d a_l^2 \Var X_l, $$
+	kde poslední rovnost plyne z toho, že v případě $j \neq l$ máme díky nezávislosti
+	$$ \E (X_j - \E X_j) (X_l - \E X_l) = E[X_j X_l] - \E [X_l] \E [X_j] = 0. $$
+\end{proof}
+
+Dalším pojmem, kterému se budeme věnovat, je kovariance a korelace, které charakterizují lineární vztah mezi dvěma náhodnými veličinami.
+
+\begin{definition}
+	\textit{Kovariance} mezi $X$ a $Y$ je definována jako
+	$$ \Cov(X, Y) = \textit{E}((X - \E X)(Y - \E Y)). $$
+	Pokud $\Var(X)\Var(Y) > 0$, pak definujeme \textit{korelaci} mezi $X$ a $Y$ vztahem
+	$$ \rho_{X, Y} \equiv \Corr(X, Y) = \frac{\Cov(X, Y)}{\sqrt{\Var(X)\Var(Y)}}. $$
+\end{definition}
+
+Je třeba si dávat pozor, že tyto pojmy necharakterizují libovolnou souvislost mezi náhodnými veličinami, ale pouze lineární. Navíc, korelace nemusí způsobovat kauzalitu (spotřeba čokolády v dané zemi sice koreluje s počtem Nobelových laureátů, ale nemůžeme zvýšit počet laureátů tím, že zvýšíme spotřebu čokolády).
+
+Dále si všimneme, že z pravidla líného statistika (Věta \ref{thm-lazy-statistician}) okamžitě plynou následující vztahy.
+
+\begin{corollary}
+	Pro $X, Y$ spojité platí $\E XY = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty xyf_{(X, Y)} (x, y) dx dy$.
+
+	Pro $X, Y$ diskrétní platí $\E XY = \sum_{x \in S(X), y \in S(y)} xyP[X = x, Y = y]$.
+\end{corollary}
+
+Dále si zformulujeme několik vlastností kovariance a korelace.
+
+\begin{theorem}
+	Pro náhodné veličiny $X$ a $Y$ platí následující tvrzení (jsou-li příslušné matematické objekty dobře definovány).
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item $\Cov(X, Y) = \E (XY) - \E X \E Y$;
+		\item $-1 \leq \Corr(X, Y) \leq 1$;
+		\item $|\Corr(X, Y)| = 1 \Leftrightarrow Y = aX + b$ s pravděpodobnosti $1$ pro nějaké hodnoty $a, b \in \R$.
+		\item Pro nezávislé $X$ a $Y$ platí $\Cov(X, Y) = 0$. Pozor: opačná implikace nemusí platit (stačí vzít $X \sim U(-1, 1), Y = X^2$).
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Budeme postupovat postupně, k důkazu první vlastnosti použijeme následující výpočet:
+	$$ \Cov(X, Y) = \E [(X - \E X) (Y - \E Y)] = \E (XY) - \E X \E Y, $$
+	kde druhá rovnost se získá roznásobením závorek analogicky s důkazem předchozí věty. Z tohoto okamžitě plyne vlastnost (iv), neboť nezávislost $X$ a $Y$ implikuje, že $\E (XY) = \E X \E Y$.
+
+	K důkazu vlastnosti (ii) použijeme Cauchyovu-Schwarzovu nerovnost. Definujeme funkci $g(a) := \E (aX - Y)^2$, potom
+	$$ 0 \leq \E (aX - Y)^2 = \E (a^2X^2 - 2aXY + Y^2) = a^2\E X^2 - 2a\E XY + \E Y. $$
+	Funkci $g(a)$ můžeme zderivovat, dostáváme
+	$$ g'(a) = 2a\E X^2 - 2\E XY, $$
+	svého minima tedy funkce $g$ nabývá v bodě $\frac{\E XY}{\E X^2}$ (bez újmy na obecnosti $\E X^2 \neq 0$, v opačném případě máme $X = 0$ skoro jistě, z čehož vlastnosti z věty plynou triviálně).
+	Dosadíme tuto hodnotu do předpisu funkce $g(a)$ a dostáváme.
+	$$ g\left(\frac{\E XY}{\E X^2}\right) = \frac{(\E XY)^2}{\E X^2} - 2 \frac{(\E XY^2)}{\E X^2} + \E Y^2 \geq 0. $$
+	Z toho již plyne, že $(\E XY)^2 \leq (\E X^2)(\E Y^2)$, z čehož už plyne požadované tvrzení.
+
+	Vlastnost (iii) budeme dokazovat po implikacích. Nejdříve předpokládejme, že $Y = aX + b$ pro nějaká $a, b \in \R$. Potom máme
+	$$ \Cov (X, Y) = \Cov(X, aX + b) = \E [X(aX + b)] - \E X \E (aX + b) = $$
+	$$ a\E X^2 + b \E X - a(\E X)^2 - b\E X = a\Var X. $$
+	a můžeme psát
+	$$ |\Corr(X, Y)| = \frac{|\Cov(X, Y)|}{\sqrt{\Var X \Var Y}} = \frac{|a \Var X|}{\sqrt{\Var{X}a^2 \Var X}} = 1. $$
+
+	Nakonec, k důkazu poslední implikace si uvědomíme, že rovnost nastává v případě $|Cor(X, Y)| = \sqrt{\Var X \Var Y}$. To nastane právě tehdy, když
+	$$[\E(X - \E X) (Y - \E Y)]^2 = [\E (X - \E X)^2] [\E (Y - \E Y)^2].$$
+	Položme $\tilde{X} = X - \E X$ a $\tilde Y = Y - \E Y$. Předchozí výraz pak bude mít tvar
+	$$[\E\tilde{X}\tilde{Y}]^2 = \E\tilde{X}^2\E\tilde{Y}^2.$$
+	Dosadíme $a = \frac{\E\tilde{X}\tilde{Y}}{\E \tilde{X}^2}$ do $g(a)$ z důkazu vlastnosti (ii), dostáváme (všimněte si, že jde o bod, kde funkce $g$ nabývá svého minima) $0 = \E\left[\frac{\E \tilde{X}\tilde{Y}}{\E \tilde{X}^2}\tilde{X} - \tilde{Y}\right]^2$, a tedy musí platit $P[a\tilde{X} - \tilde{Y} = 0] = 1$. Pak s pravděpodobností $1$ musí platit $aX - a\E X + \E Y = Y$, což jsme chtěli dokázat (stačí vzít $b = - a\E X - \E Y$).
+\end{proof}
+
+Jednoduchým důsledkem tohoto tvrzení (plyne z důkazu poslední vlastnosti z Věty \ref{thm-properties-disp}) je následující tvrzení umožňující počítat rozptyl součtu ne nutně nezávislých veličin.
+
+\begin{corollary}[Rozptyl součtu]
+	Pokud $X_1, \dots, X_d \in \mathcal{L}^2$ a $a_1, \dots, a_d$ jsou reálné konstanty, potom
+	$$ \Var\left(\sum_{l = 1}^d a_l X_l \right) = \sum_{l = 1}^d a_l^2 \Var X_l + 2 \sum_{1 \leq j < l \leq d} a_j a_l \Cov(X_j, X_l).$$
+\end{corollary}
+
+Pro vícerozměrné náhodné vektory můžeme definovat obdobné pojmy jako pro náhodné veličiny.
+
+\begin{definition}
+	\textit{Střední hodnotu} náhodného vektoru $\vec{X}=[X_1, \dots, X_d]^T$ definujeme předpisem
+	$$ \E  \vec{X} = [\E X_1, \dots, \E X_d]^T.$$
+	\textit{Varianční-kovarianční matice} náhodného vektoru $\vec{X} = [X_1, \dots, X_d]^T$ je definována jako
+	$$ \Var \vec{X} =
+	\begin{bmatrix}
+		\Var X_1 & \Cov(X_1, X_2) & \cdots & \Cov(X_1, X_d) \\
+		\Cov(X_2, X_1) & \Var X_2 & \cdots & \Cov(X_2, X_d) \\
+		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		\Cov(X_d, X_1) & \Cov(X_d, X_2) & \cdots & \Var(X_d)
+	\end{bmatrix}.$$
+\end{definition}
+
+Všimneme si, že platí $\Cov(X, X) = \Var X$ a $\Cov(X, Y) = \Cov(Y, X)$. Z toho plyne, že takto definovaná kovarianční matice je symetrická.
+
+\hfill \textit{konec 9. přednášky (17.3.2025)}