petrvel/nmsa202
1
0
Fork 0
Code Issues Pull requests Projects Releases Packages Wiki Activity Actions

vycisleni integralu Si(x)

Browse source
This commit is contained in:
Petr Velička 2025-03-23 09:30:49 +01:00
parent bf742595e5
commit b8e66e64db
Signed by: petrvel
GPG key ID: E8F909AFE649174F
3 changed files with 3 additions and 1 deletions
Download patch file Download diff file Expand all files Collapse all files

2
stredni-hodnota.tex
View file

@ -350,7 +350,7 @@ Následující věta nám umožňuje jednoznačně popisovat rozdělení jak pod
Mějme $T \in \R$ a $a < b$, potom
$$ \frac{1}{2\pi} \int_{-T}^T \frac{e^{ita} - e^{itb}}{it} \varphi_X(t) dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-T}^T \frac{e^{ita} - e^{itb}}{it} \int_\R e^{itx} dP_X = $$
$$ \int_{-T}^T \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{it(x - a)} - e^{it(x - b)}}{2\pi it} dP_Xdt \overset{Fubini}{=} \int_{-\infty}^\infty \int_{-T}^T \frac{e^{it(x - a)} - e^{it(x - b)}}{2\pi it} dtdP_X. $$
Všimneme si, že pro každou konstantu $c \in \R$ platí $\int_{-T}^T \frac{e^{itc}}{2it}dt = \int_0^T \frac{\sin(tc)}{t} dt$. Potom platí
Všimneme si, že pro každou konstantu $c \in \R$ platí $\int_{-T}^T \frac{e^{itc}}{2it}dt = \int_0^T \frac{\sin(tc)}{t} dt$ a tento integrál se navíc rovná $\frac{\pi}{2} \sgn(c)$. Potom platí
$$ \frac{1}{2\pi} \int_{-T}^T \frac{e^{ita} - e^{itb}}{it} \varphi_X(t) dt = $$
$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\pi} \left[\int_0^T \frac{\sin(t(x - a))}{t} dt - \int_0^T \frac{\sin(t(x - b))}{t} dt \right] dP_X.$$
Když pošleme $T$ do nekonečna, dostaneme následující hodnoty