prednaska 24.2.2025

nahodne-jevy.tex

@@ -189,3 +189,12 @@ Použití Bayesovy věty si ukážeme na následujícím příkladu.
 	Tedy pravděpodobnost, že tento e-mail je spam je přes $99\%$!
 \end{example}
 
+\begin{theorem}{\textbf{(O postupném podmiňování)}}
+	Nechť ${A_i}_{i=1}^n$ jsou náhodné jevy takové, že $P(\bigcap_{i=1}^n) > 0$. Pak platí
+	$$ P(\bigcap_{i=1}^n A_i ) = P(A_n | \bigcap_{i=1}^{n-1}) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_1). $$
+	\begin{proof}
+		Dokazujeme indukcí podle počtu náhodných jevů. Z definice podmíněné pravděpodobnosti víme, že $P(A_2 \cap A_1) = P(A_2 | A_1) P(A_1)$. Dále 
+		$$P\left(\bigcap_{i=1}^n\right) = P\left(A_n \cap \left(\bigcap_{i=1}^{n-1} A_i\right)\right) = P\left(A_n | \bigcap_{i=1}^{n-1}\right) P\left(\bigcap_{i=1}^{n-1}\right),$$
+		čímž je důkaz ukončen.
+	\end{proof}
+\end{theorem}