prednaska 24.2.2025

nahodne-jevy.tex

@@ -189,3 +189,12 @@ Použití Bayesovy věty si ukážeme na následujícím příkladu.
 	Tedy pravděpodobnost, že tento e-mail je spam je přes $99\%$!
 \end{example}
 
+\begin{theorem}{\textbf{(O postupném podmiňování)}}
+	Nechť ${A_i}_{i=1}^n$ jsou náhodné jevy takové, že $P(\bigcap_{i=1}^n) > 0$. Pak platí
+	$$ P(\bigcap_{i=1}^n A_i ) = P(A_n | \bigcap_{i=1}^{n-1}) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_1). $$
+	\begin{proof}
+		Dokazujeme indukcí podle počtu náhodných jevů. Z definice podmíněné pravděpodobnosti víme, že $P(A_2 \cap A_1) = P(A_2 | A_1) P(A_1)$. Dále 
+		$$P\left(\bigcap_{i=1}^n\right) = P\left(A_n \cap \left(\bigcap_{i=1}^{n-1} A_i\right)\right) = P\left(A_n | \bigcap_{i=1}^{n-1}\right) P\left(\bigcap_{i=1}^{n-1}\right),$$
+		čímž je důkaz ukončen.
+	\end{proof}
+\end{theorem}

nahodne-veliciny.tex

@@ -9,3 +9,86 @@ V této kapitole se budeme věnovat náhodným veličinám, což bude formalizov
 
 \hfill \textit{konec 2. přednášky (18.2.2025)}
 
+\begin{convention}
+	Zavedeme značení $[X \in B] = \{\omega: X(\omega) \in B\}, [X \leq a] = \{\omega, X(\omega) \leq a\}$. Platí tedy $[X \in B], [X \leq a] \in \mathcal{A}$ pro všechna $B \in \mathcal{B}, a \in \mathbb{R}$. Jde o náhodné jevy a jsou tedy dobře definované jejich pravděpodobnosti $P[X \in B], P[X \leq a]$.
+\end{convention}
+
+\begin{example}
+	Házíme mincí desetkrát. Nechť $X(\omega)$ je počet orlů v posloupnosti $\omega$. Jestliže $\omega = OOPOOPOOPP$ (kde $O$ je orel a $P$ je panna), platí $X(\omega) = 6$.
+\end{example}
+
+V předchozí kapitole jsme mluvili o pravděpodobnostním rozdělení, je na čase tento pojem formálně zadefinovat.
+
+\begin{definition}
+	\textit{Rozdělením náhodné veličiny} $X: (\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ nazýváme indukovanou pravděpodobnostní míru $P_X$ na $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ definovanou jako
+	$$ P_X(B) := P[\{\omega\in\Omega: X(\omega)\in B\}],B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$$
+\end{definition}
+
+Máme tedy jakýsi obraz míry $P$ v zobrazení $P_X$ čímž se $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ zobrazí na pravděpodobnostní prostor $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X)$. V opačném směru můžeme použít takzvané kanonické vnoření do prostoru $(\mathbb{R}, \mathcal{B}, P_X)$, kde naší zvolenou měřitelnou funkcí bude identita, tedy není potřeba se bát, že by příslušný prostor nemusel existovat. Následující věta říká, že nezáleží ve kterém z těchto dvou prostorů integrujeme libovolnou funkci.
+
+\begin{theorem}{\textbf{(O přenosu integrace)}}
+	Buď $g$ měřitelná funkce na měřitelném prostoru $(\mathbb{M}, \mathcal{M})$ a $X: (\Omega, \mathcal{A}, P) \rightarrow (\mathbb{M}, \mathcal{M})$.
+	Nechť $P_X$ je míra na $\mathcal{M}$ indukovaná zobrazením $X$, tedy $P_X(M) = P[X^{-1}(M)]$ pro $M \in \mathcal{M}$. Potom, je-li aspoň jedna strana definována, platí
+	$$\int_\Omega g[X(\omega)] dP(\omega) = \int_\mathbb{M} g(x) dP_X(x).$$
+
+	\begin{proof}
+		Důkaz této věty je poměrně technický, hlavní ideou je ``klasický" postup z teorie míry postupným důkazem nejdříve pro charakteristickou funkci, poté pro jednoduchou měřitelnou (nabývající jen konečně mnoha hodnot), pak pro nezápornou měřitelnou a na závěr pro obecnou měřitelnou funkci.
+
+		Nechť $g = \chi_B, B \in \mathcal{M}$. Tedy $g(X(\omega) = 1$ pro $X(\omega) \in B$ (a všude jinde nulová), tedy pro $\omega \in X^{-1}(B)$. Potom máme
+		$$ \int_\Omega g(X(\omega) dP(\omega) = \int_{X^{-1}(B)} dP(\omega) = P[X^{-1}(B)]. $$
+		Pro pravou stranu máme
+		$$ \int_\mathbb{M} g(x) dP_X(x) = \int_B dP_X(x) = P_X(B) = P[X^{-1}(B)].$$
+
+		Dále nechť $g$ je jednoduchá měřitelná, tedy $g(\cdot) = \sum_{k = 1}^{n} c_k \chi_{B_k}(\cdot)$ pro $n \in \mathbb{N}$, $c_k \in \mathbb{R}$ a $B_k \in \mathcal{M}$ pro všechna $k$.
+		Z linearity integrálu plyne (vytkneme sumu) $ \int_\Omega g(X(\omega) dP(\omega) = \int_{X^{-1}(B)} dP(\omega) = P[X^{-1}(B)]$.
+
+		Je-li $g$ nezáporná měřitelná, potom existuje posloupnost $g_n$ jednoduchých měřitelných funkcí takových, že $g_n \nearrow g$. Potom dle Léviho věty o monotonní konvergenci máme
+		$$\int_\Omega g[X(\omega)] dP(\omega) = \lim_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega g_n[X(\omega)] dP(\omega) $$
+		$$ = \lim_{n\rightarrow\infty} \int_\mathbb{M} g_n(x) dP_X(x) = \int_\mathbb{M} g(x) dP_X(x),$$
+		kde třetí rovnost plyne z již dokázané části pro jednoduché měřitelné funkce.
+
+		Nakonec, pro $g$ měřitelnou existuje rozklad $g = g^+ - g^-$ takový, že $g^+, g^-$ jsou nezáporné měřitelné, tedy požadované tvrzení plyne z části pro nezáporné měřitelné funkce.  
+	\end{proof}
+\end{theorem}
+
+Na závěr poznamenejme, že se nám budou obzvlášť hodit volby $(\mathbb{M}, \mathcal{M}) = (\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$ pro $n \geq 1$.
+
+Připomeňme si, že jsou-li $\mu, \nu$ dvě $\sigma$-konečné míry na $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ a je-li $\nu << \mu$ (tedy $\mu(B) = 0$ implikuje $\nu(B) = 0$), potom z Radonovy-Nikodymovy věty plyne existence nezáporné měřitelné funkce $f$ takové, že $\nu(B) = \int_\mathbb{R} fd\mu$ pro všechna $B \in \mathcal{B}$. Této funkci $f$ říkáme Radonova-Nikodymova derivace a píšeme $f = \frac{d\nu}{d\mu}$. Taková funkce $f$ je navíc určena jednoznačně až na množinu $\mu$-míry $0$.
+
+Využijeme těchto poznatků tak, že zvolíme vhodnou referenční míru na $\mathbb{R}$ a rozdělení $P_X$ pak bude popsáno právě zavedenou Radonovou-Nikodymovou derivací. Vhodné referenční míry jsou např.
+\begin{itemize}
+	\item Lebesgueova míra $\lambda$,
+	\item Čítací míra na spočetné podmnožině $\mathbb{R}$, platí $\mu_S(B) = |B \cap S|$ kde $S$ je nejvýše spočetná podmnožina $\mathbb{R}$.
+\end{itemize}
+
+\begin{definition}
+	Buď $X$ náhodná veličina a $P_X$ její rozdělení. Nechť $P_X$ je absolutně spojité vůči $\mu$, kde $\mu$ je $\sigma$-konečná míra na $\mathbb{R}$. Pak funkci $f_X$ splňující $P_X(B) = \int_B f_X d\mu$ pro všechny $B \in \mathbb{B}$ nazveme \textit{hustotou} rozdělení náhodné veličiny $X$ vůči míře $\mu$.
+\end{definition}
+
+Je třeba si dát pozor na to, aby zvolená referenční míra opravdu byla absolutně spojitá, například při hodu kostkou má výsledek $1$ nenulovou pravděpodobnost, ale $\lambda(\{1\}) = 0$.
+
+\begin{theorem}
+	Buď $X$ náhodná veličina a $P_X$ její rozdělení. Je-li $f_X$ hustota (rozdělení) vůči $\sigma$-konečné míře $\mu$, pak
+	$$P[X\in B] = \int_B f_X d\mu.$$
+	\begin{proof}
+		Přímý důsledek Radonovy-Nikodymovy věty a vztahu mezi $P_X$ a $P$.
+	\end{proof}
+\end{theorem}
+
+Další funkcí, která plně charakterizuje rozdělení náhodné veličiny je tzv. distribuční funkce.
+
+\begin{definition}
+	Buď $X$ náhodná veličina na $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ a $P_X$ její rozdělení. \textit{Distribuční funkce} $F_x$ náhodné veličiny $X$ je definována $F_X(a) = P((-\infty, a]) = P[X \leq a]$.
+\end{definition}
+
+Uvedeme si několik užitečných vlastností distribučních funkcí:
+
+\begin{corollary}
+	\begin{enumerate}{(i)}
+		\item Distribuční funkce jednoznačně určuje rozdělení.
+		\item Různé náhodné veličiny mohou mít stejné distribuční funkce, tedy stejné rozdělení.
+	\end{enumerate}
+\end{corollary}
+
+\hfill \textit{konec 3. přednášky (23.2.2025)}
+

skripta.tex

@@ -19,7 +19,7 @@
 \theoremstyle{definition}
 \newtheorem{definition}[theorem]{Definice}
 \newtheorem{example}[theorem]{Příklad}
-
+\newtheorem{convention}[theorem]{Úmluva}
 
 \title{Pravděpodobnost a matematická statistika (NMSA202)}
 \author{Petr Velička \footnote{\href{mailto:petrvel@matfyz.cz}{petrvel@matfyz.cz}}\\přednášející: doc. RNDr. Michal Pešta, Ph.D. \footnote{\href{mailto:pesta@karlin.mff.cuni.cz}{pesta@karlin.mff.cuni.cz}}}