definice misto prikladu

nahodne-veliciny.tex

@@ -202,54 +202,54 @@ Ukážeme si několik užitečných příkladů rozdělení (diskrétních a poz
 
 \subsection{Diskrétní náhodné veličiny}
 
-\begin{example}[Bodové rozdělení]
+\begin{definition}[Bodové rozdělení]
 	Náhodná veličina $X$ má \textit{bodové rozdělení} v bodě $a$ právě tehdy, když $P[X = x] = \chi_{\{x = a\}}, x \in \mathbb{R}$. Zapisujeme $X \sim \delta_a$. Potom platí $F_X(x) = \chi_{\{x \geq a\}}$.
-\end{example}
+\end{definition}
 
-\begin{example}[Diskrétní rovnoměrné rozdělení]
+\begin{definition}[Diskrétní rovnoměrné rozdělení]
 	Náhodná veličina $X$ má \textit{diskrétní rovnoměrné rozdělení} na $\{1,\dots,k\}$ právě tehdy, když
 	$$f_X(x) = \begin{cases}1/k, x = 1,\dots,k;\\0,\text{jinak.}\end{cases}$$
-\end{example}
+\end{definition}
 
-\begin{example}[Bernoulliho rozdělení]
+\begin{definition}[Bernoulliho rozdělení]
 	Náhodná veličina $X$ má \textit{Bernoulliho rozdělení} s parametrem $p \in (0, 1)$ právě tehdy, když $f_X(x) = p^x(1 - p)^{1 - x}$ pro $x \in {0, 1}$. Zapisujeme $X \sim Alt(p)$ nebo $X \sim Be(p)$. Tímto rozdělením modelujeme jevy, u kterých jsou pouze dva možné výsledky (úspěch/neúspěch, hod mincí).
-\end{example}
+\end{definition}
 
-\begin{example}[Binomické rozdělení]
+\begin{definition}[Binomické rozdělení]
 	Náhodná veličina $X$ má \textit{binomické rozdělení} s parametry $n \in \mathbb{N}$ a $p \in (0, 1)$ právě tehdy, když
 	$$f_X(x) = \binom{n}{x}p^x(1- p)^{n - x} \chi_{\{x \in \{0,\dots,n\}\}}.$$
 	Zapisujeme $X \sim Bi(n, p)$. Používáme toto v případě sčítaně nezávislých\footnote{Přesná definice nezávislých veličin bude uvedena později.} veličin s Bernoulliho rozdělením (počet úspěchů mezi $n$ pokusy).
-\end{example}
+\end{definition}
 
-\begin{example}[Geometrické rozdělení]
+\begin{definition}[Geometrické rozdělení]
 	Náhodná veličina $X$ má \textit{geometrické rozdělení} s parametrem $p \in (0, 1)$ (zapisujeme $X \sim Geo(p)$) právě tehdy, když
 	$$ f_X(x) = p(1 - p)^x $$
 	pro $x \in \mathbb{N}_0$. Taková náhodná veličina vyjadřuje počet neúspěchů před prvním úspěchem v posloupnosti nezávislých pokusů.
-\end{example}
+\end{definition}
 
-\begin{example}[Negativně binomické rozdělení]
+\begin{definition}[Negativně binomické rozdělení]
 	Náhodná veličina $X$ má \textit{negativně binomické rozdělení} s parametry $n \in \mathbb{N}$ a $p \in (0, 1)$ (píšeme $X \sim NB(n, p)$), jestliže platí
 	$$ f_X(x) = \binom{n + x - 1}{n - 1} p^n(1 - p)^x $$
 	pro $x \in \mathbb{N}_0$. Rozdělení vyjadřuje počet neúspěchů před $n$-tým úspěchem v posloupnosti nezávislých pokusů. Specifický případ $NB(1, p) = Geo(p)$.
-\end{example}
+\end{definition}
 
-\begin{example}[Poissonovo rozdělení]
+\begin{definition}[Poissonovo rozdělení]
 	Náhodná veličina $X$ má \textit{Poissonovo rozdělení} s parametrem $\lambda > 0$ (zapisujeme $X \sim Po(\lambda)$) právě tehdy, když
 	$$f_X(x) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}$$
 	pro $x \in \mathbb{N}_0$. Jestliže $X \sim Po(\lambda_X)$ a $Y \sim Po(\lambda_Y)$ jsou nezávislé, potom $X + Y \sim Po(\lambda_X + \lambda_Y)$. Jestliže $n \rightarrow \infty$ a $np \rightarrow \lambda < \infty$, potom $Bi(n, p)$ konverguje k $Po(\lambda)$.
-\end{example}
+\end{definition}
 
 \subsection{Absolutně spojité náhodné veličiny}
 
-\begin{example}[Spojité rovnoměrné rozdělení]
+\begin{definition}[Spojité rovnoměrné rozdělení]
 	Náhodná veličina $X$ má \textit{rovnoměrné rozdělení} na intervalu $[a, b]$ právě tehdy, když $f_X(x) = (b - a)^{-1} \chi_{\{x \in [a, b]\}}$. Zapisujeme $X \sim U(a, b)$ (uniform) nebo $X \sim R(a, b)$ (rovnoměrné).
-\end{example}
+\end{definition}
 
-\begin{example}[Normální rozdělení]
+\begin{definition}[Normální rozdělení]
 	Náhodná veličina $X$ má \textit{normální (Gaussovo) rozdělení} s parametry $\mu \in \mathbb{R}$ a $\sigma^2 > 0$ (zapisujeme $X \sim N(\mu, \sigma^2)$) právě tehdy, když
 	$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left\{ - \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right\}$$
 	pro $x \in \mathbb{R}$.
-\end{example}
+\end{definition}
 
 Toto rozdělení je enormně důležité, uvedeme si proto několik jeho vlastností. Nejprve, máme-li $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, potom $Z := (X - \mu)/\sigma \sim N(0, 1)$. Tomuto rozdělení říkáme \textit{standardní normální rozdělení}. Dále, máme-li dvě nezávislé normálně rozdělené veličiny $X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2), Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$, potom $X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma_X^2 + \sigma_Y^2)$.
 
@@ -268,23 +268,23 @@ Distribuční funkce $N(0, 1)$ nejde vyjádřit analyticky, máme jen $\Phi(x) :
 	proto $-0.8416 = \frac{q - \mu}{\sigma} = \frac{q - 3}{\sqrt{5}}$ a tedy $q = 3 - 0.8416 \sqrt{5} \approx 1.1181$.
 \end{proof}
 
-\begin{example}[Exponenciální rozdělení]
+\begin{definition}[Exponenciální rozdělení]
 	Náhodná veličina $X$ má \textit{exponenciální rozdělení} s parametrem $\lambda > 0$ (zapisujeme $X \sim Exp(\lambda)$) právě tehdy, když $$f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} \chi_{\{x > 0\}}.$$
-\end{example}
+\end{definition}
 
-\begin{example}[Gamma rozdělení]
+\begin{definition}[Gamma rozdělení]
 	Náhodná veličina $X$ má \textit{Gamma rozdělení} s parametry $a, p > 0$ právě tehdy, když
 	$$ f_X(x) = \frac{a^p}{\Gamma(p)} x^{p - 1} e^{-ax} \chi_{\{x > 0\}},$$
 	kde $\Gamma(p) = \int_0^\infty t^{p - 1} e^{-t} dt$ je gamma funkce (spojité rozšíření faktoriálu). Zapisujeme $X \sim Gamma(a, p)$ nebo $X \sim \Gamma(a, p)$. Exponenciální rozdělení $Exp(a)$ je speciálním případem Gamma rozdělení s parametrem $p = 1$.
 
 	Opět máme součtový vzorec pro nezávislé veličiny $X \sim \Gamma(a, p_X), Y \sim \Gamma(a, p_Y)$, platí totiž $X + Y \sim \Gamma(a, p_X + p_Y)$.
-\end{example}
+\end{definition}
 
-\begin{example}[Beta rozdělení]
+\begin{definition}[Beta rozdělení]
 	Náhodná veličina $X$ má \textit{Beta rozdělení} s parametry $\alpha, \beta > 0$ právě tehdy, když
 	$$ f_X(x) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 1} \chi_{\{x \in (0, 1)\}}. $$
 	Zapisujeme $X \sim Beta(\alpha, \beta)$ nebo $X \sim B(\alpha, \beta)$. Všimněme si, že na rozdíl od předchozích rozdělení jde o rozdělení na kompaktu.
-\end{example}
+\end{definition}
 
 \hfill \textit{konec 5. přednášky (3.3.2025)}