prednaska 11.4.2025

linearni-rovnice-konst-koef.tex

@@ -0,0 +1,116 @@
+\section{Lineární rovnice s konstantními koeficienty}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Lineární homogenní rovnice s konstantními koeficienty} a s maticí $A \in \R^{n\times n}$ je rovnice
+	\begin{equation}\label{eq-linhom-const}x' = Ax.\end{equation}
+\end{definition}
+
+Myšlenkou studia těchto rovnic je analogie s rovnicí $x' = ax$ pro $a \in \R$, kde řešením je $x(t) = x_0e^{at}$. Ukážeme, že rovnice \eqref{eq-linhom-const} má řešení $x(t) = e^{At} x_0$.
+
+\begin{definition}
+	\textit{Maticovou exponenciálu} definujeme předpisem
+	$$ e^A = \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{k!} A^k $$
+	s konvencí $A^0 = I$.
+\end{definition}
+
+Řada s definice maticové exponenciály je dobře definovaná, neboť $\|\frac{1}{k!}A^k\| \leq \frac{1}{k!}\|A\|^k$, přičemž $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}c^k = e^c$ konverguje pro každé $c \in \R$. Navíc z tohoto odhadu dostáváme $\|e^A\| \leq e^{\|A\|}$.
+
+\begin{example}
+	Nechť $A = \begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$. Potom
+		$$e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} A^k = \sum_{k=0}^\infty \begin{pmatrix}\frac{2^k}{k!} & 0 \\ 0 & \frac{1^k}{k!}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e^2 & 0\\0 & e\end{pmatrix}.$$
+\end{example}
+
+\begin{theorem}
+	Nechť $U(t) = e^{tA}$. Pak $U(t)$ je fundamentální matice rovnice \eqref{eq-linhom-const} a platí $U(0) = I$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Řada konverguje pro všechny matice, tedy i pro matici $tA$, což znamená, že $U$ je dobře definovaná. Platí
+	$$[U(t)]_{ij} = \left[\sum_{k=0}^\infty \frac{t^kA^k}{k!}\right]_{ij} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} [A^k]_{ij} t^k. $$
+	Toto je mocninná řada s poloměrem konvergence $\infty$, tedy ji můžeme derivovat člen po členu (nultý člen se zderivuje na nulu).
+	$$U'(t) = \sum_{k=1}^\infty \frac{A^k}{k!} kt^{k-1} = \sum_{k=1}^\infty A \frac{1}{(k-1)!} A^{k-1}t^{k-1} = Ae^{tA} = A U(t).$$
+	Vytknutí $A$ můžeme provést, neboť operátor násobení maticí $A$ je spojitý.
+
+	Závěr ohledně $U(0)$ plyne z toho, že pro $t = 0$ je první člen sumy roven jednotkové matici a všechny ostatní jsou nulové.
+\end{proof}
+
+Z obecného tvaru řešení dostáváme, že $x(t) = \Phi(t) \Phi^{-1}(t_0) x_0$, přičemž $t_0 = 0$ a tedy $U(0) = U^{-1}(0) = I$. Z toho již plyne $x(t) = e^{tA} x_0$.
+
+\begin{theorem}[Vlastnosti maticové exponenciály]
+	Platí následující vlastnosti maticové exponenciály
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item $e^{aI} = e^a I$ pro $a \in \R$;
+		\item pokud $AB = BA$, pak $e^{A+B} = e^Ae^B$;
+		\item $e^{C^{-1}AC} = C^{-1}e^AC$;
+		\item $e^{-A} = (e^A)^{-1}$, speciálně $e^A$ je vždy regulární.
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Budeme dokazovat postupně.
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item Dosazením dostáváme
+			$$ e^{aI} = \sum_{k=0}^\infty \frac{a}{k!} I = I \sum_{k=1}^\infty \frac{a}{k!} Ie^a. $$
+		\item Nejprve ukážeme, že $Be^{tA} = e^{tA}B$. To plyne z toho, že
+			$$Be^{tA} = B\sum_{k=0}^\infty \frac{t^kA^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty B\frac{t^kA^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^kA^k}{k!} B = e^{tA}B. $$
+			Potom z definice $U(t) = e^{tA}e^{tB}$ a $U'(t) = Ae^{tA}e^{tB} + e^{tA}Be^{tB} = (A + B)U(t)$. Tedy $U(t)$ splňuje rovnici $x'(t) = (A+B)x(t)$, kterou také splňuje $\tilde U(t) = e^{(A+B)t}$. Z jednoznačnosti řešení této rovnice dostáváme $e^Ae^B = e^{A+B}$.
+		\item Z definice rozepíšeme
+			$$ e^{C^{-1}AC} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} (C^{-1}AC)^k = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} C^{-1}A^kC = $$
+			$$ C^{-1}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}A^k C = C^{-1}e^A C. $$
+		\item Okamžitě plyne z (ii), neboť $e^A e^{-A} = e^0 = I$
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}[Variace konstant pro \eqref{eq-linhom-const}]
+	\label{thm-variation-hom-const}
+	Nechť $A \in \R^{n \times n}$, $g(t): (a, b) \to \R^n$ je spojitá, $t_0 \in (a, b)$ a $x_0 \in \R^n$ jsou dána. Potom řešení rovnice
+	$$ x' = Ax + g(t), x(t_0) = x_0$$
+	má tvar
+	$$ x(t) = e^{(t - t_0)A}x_0 + \int_{t_0}^t e^{(t - s)A} g(s) ds. $$
+\end{corollary}
+
+Další otázka, kterou se budeme zabývat je hledání maticové exponenciály. K tomu použijeme takzvaný Jordanův kanonický tvar matice.
+
+\begin{theorem}
+	Nechť $A \in \R^{n \times n}$, $J$ její Jordanův kanonický tvar, $A = VJV^{-1}$ a $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ je diagonála $J$. Potom $e^{tA} = Ve^{tJ}V^{-1}$, kde matici $e^{tJ}$ definujeme jako $diag(e^{t\lambda_1}, \dots, e^{t\lambda_n})$, přičemž $P(t)$ je blokově diagonální matice se stejně velkými a stejně uspořádanými bloky jako $J$ a blok velikosti $k$ matice $P(t)$ je roven
+	$$ \begin{pmatrix}
+	1 & t & \frac{1}{2}t^2 & \cdots & \frac{1}{(k-1)!}t^{k-1} \\
+	0 & 1 & t & \cdots & \frac{1}{(k-2)!}t^{k-2} \\
+	\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		0 & 0 & 0 & \cdots & 1
+	\end{pmatrix}$$
+\end{theorem}
+
+\begin{corollary}
+	Buď $a = \max\{\Re \lambda: \lambda \in \sigma(A)\}$ a $m$ velikost největší Jordanovy buňky příslušné k vlastnímu číslu $\Re \lambda = a$.
+	Pak existuje $M > 0$, že $\|e^{tA}\| \leq Mt^{m-1}e^{at}$ pro všechna $t \geq 0$. Speciálně, pro všechna $\tilde a > a$ existuje $\tilde M > 0$ takové, že $\|e^{tA}\| \leq \tilde M e^{t\tilde a}$.
+\end{corollary}
+
+\hfill \textit{konec 7. přednášky (4.4.2025)}
+
+\begin{definition}
+	Pro matici $A \in \R^{n \times n}$ a její spektrum $\sigma(A)$ definujeme $\sigma_-(A) = \sigma(A) \cap \{\Re < 0\}$, $\sigma_0(A) = \sigma(A) \cap \{\Re = 0\}$, $\sigma_+(A) = \sigma(A) \cap \{\Re > 0\}$. Příslušné podprostory generované příslušnými (zobecněnými) vlastními vektory značíme $X_-(A), X_0(A), X_+(A)$ (nazýváme je \textit{stabilní, centrální} a \textit{nestabilní} podprostor).
+\end{definition}
+
+Zřejmě $\R^n = X_+(A) \oplus X_-(A) \oplus X_0(A)$. Tyto prostory jsou invariantní vzhledem k $A$ a též vzhledem k $e^{tA}$.
+
+\begin{theorem}[Asymptotické chování podprostorů]
+	Nechť $A$ je daná matice. Potom existují kladná $\alpha, \beta, M$ a $c$ taková, že platí:
+	\begin{enumerate}
+		\item Pokud $x_0 \in X_-(A)$, pak $|e^{tA}x_0| \leq ce^{-\alpha t}|x_0|$ pro každé $t \geq 0$.
+		\item Pokud $x_0 \in X_+(A)$, pak $|e^{tA}x_0| \leq ce^{\beta t}|x_0|$ pro každé $t \leq 0$.
+		\item Pokud $x_0 \in X_0(A)$, pak $|e^{tA}x_0| \leq c(1 + |t|)^M|x_0|$ pro každé $t \in \R$.
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Nejdříve nechť $x_0 \in X_-(A)$. Potom $x_0 = \sum_{i=1}^k a_i v_i$, kde $v_i$ jsou zobecněné vlastní vektory příslušné $\lambda_i \in \sigma_-(A)$.
+	Dále máme, že $e^{tA} x_0 = Ve^{tJ}V^{-1} x_0$. Spočteme $V^{-1}x_0$. Jestliže $v$ je sloupec matice $V$, potom $V^{-1}v$ je jeden ze sloupců jednotkové matice, tedy má tvar $(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)^T$.
+	Tedy $V^{-1}x_0$ má nenulové hodnoty jen v řádcích příslušných $\Re \lambda < 0$. Můžeme odhadovat normu
+	$$ \|e^{tA} x_0 \| \leq \|V\|\|e^{tJ} \text{: řádky s } e^{-at}\| \| V^{-1} x_0\| \leq C e^{-\alpha t} \|x_0\|. $$
+	Zde jsme využili faktu, že ``polynom" $e^{-\lambda t} t^k$ lze odhadnout $e^{-\lambda t} t^k \leq e^{(-\lambda + \varepsilon)t}c$ pro vhodná $c$ a $\varepsilon$.
+
+	Důkaz ostatních implikací je podobný.
+\end{proof}
+
+V předchozí větě platí i opačná implikace, a to ve smyslu, že uvedené vlastnosti charakterizují dané podprostory.

linearni-rovnice.tex

@@ -0,0 +1,150 @@
+\section{Lineární rovnice}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Normu matice} $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ definujeme
+	$$ \| A \| = \sup \{ |Ax|; x \in \mathbb{R}^n, |x| \leq 1 \}, $$
+	kde $|x| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$ je norma vektoru $x \in \mathbb{R}^n$.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}[Vlastnosti normy matice]
+	\label{thm-matrix-norm-properties}
+	Nechť $A, B \in \mathbb{R}^{n\times n}$. Potom:
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item $\| A \| \geq 0$ a $\|A \| = 0$ právě když $A = 0$.
+		\item $\| aA \| = |a| \| A \|$ pro všechna $a \in \mathbb{R}$.
+		\item $\| A + B \| \leq \|A\| + \|B\|$.
+		\item $\| AB \| \leq \|A\|\|B\|$.
+		\item $|Ax| \leq \|A\| |x|$ pro $x \in \mathbb{R}^n$.
+		\item Je-li $A$ regulární, pak $Ay \geq \frac{|y|}{\|A^{-1}\|}$ pro $y \in \mathbb{R}^n$.
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	První tři vlastnosti říkají, že operátor $\|\cdot\|$ je norma (cvičení).
+
+	Dokážeme vlastnost (v). Případ $x = 0$ je triviální, nechť tedy $x \neq 0$. Položme $y = \frac{x}{|x|}$. Potom můžeme psát
+	$$ |Ax| = |A(|x|y)| = \left||x|Ay\right| = |x| |Ay| \leq |x| \|A\|. $$
+
+	K důkazu vlastnosti (iv) můžeme psát
+	$ |ABx| \leq \|A\|\|B\||x| $, kde jsme dvakrát použili již dokázanou vlastnost (v).
+	Potom
+	$$ \|AB\| = \sup_{|x| \leq 1} |ABx| \leq \sup_{|x| \leq 1} \|A\|\|B\||x| \leq \|A\|\|B\|\cdot1. $$
+
+	Nakonec, pro vlastnost (vi) položme $v := Ay$, tedy $y = A^{-1} v$. Potom
+	$$ |y| = |A^{-1} v| \leq \|A^{-1}\| |v| = \|A^{-1}\| |Ay|, \textrm{ tedy } |Ay| \geq \frac{|y|}{\|A^{-1}\|}, $$
+	čímž je důkaz ukončen.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Lineární rovnicí} rozumíme rovnici
+	\begin{equation}
+		\label{eq-linear-ode}
+		x' = A(t)x + g(t), x(t_0) = x_0,
+	\end{equation}
+	kde $A(t): (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^{n\times n}, g(t): (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^n$ jsou spojité.
+\end{definition}
+
+V přednášce MA3 jste již studovali tento typ rovnic, teď se však budeme věnovat obecnějšímu případu, kdy $A$ a $g$ závisí na $t$.
+
+\begin{theorem}
+	\label{thm-unique-sol-lineq}
+	Nechť $t_0 \in (a, b), x_0 \in \mathbb{R}^n$ je dáno. Pak existuje jediné řešení rovnice \eqref{eq-linear-ode} definované na celém $(a, b)$ splňující počáteční podmínku $x(t_0) = x_0$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Rovnice \eqref{eq-linear-ode} je ekvivalentní rovnici \eqref{eq-ode}, kde $f(x, t) = A(t)\cdot x + g(t)$. Můžeme psát
+	$$ |f(x, t) - f(y, t)| = |A(t)x - A(t)y| \leq \|A(t)\| |x - y|. $$
+	Funkce $A(t)$ je omezená na kompaktních intervalech, tedy $f$ je lipschitzovská. Tedy pro každou počáteční podmínku existuje právě jedno maximální řešení. Dokážeme, že toto řešení je definované na celém $(a, b)$.
+
+	\hfill \textit{konec 5. přednášky (21.3.2025)}
+
+	Předpokládejme, že řešení není definované na celém $(a, b)$. Potom existují $\alpha, \beta \in (a, b)$ takové, že řešení je definováno na $(\alpha, \beta)$. Toto řešení musí opustit každý kompakt, tedy mimo jiné i $K = [t_0, \beta]\times \overline{B(0, R)}$, kde $R$ je dostatečně velké.
+	Řešení $x$ splňuje 
+	$$ |x(t)| \leq |x(t_0)| \int_{t_0}^t \| A(s)\| |x(s)| + |g(s)| ds \overset{\begin{subarray}{c}\|A(s)\| \leq L\\|g(s)| \leq \tilde{C}\end{subarray}}{\leq} C + \int_{t_0}^t L|x(s)|C| ds \leq $$
+	Z Gronwallova lemmatu dostaneme
+	$$ \leq \tilde{C} + C(\beta - t_0) + \int_{t_0}^t L|x(s)| ds \implies |x(t)| \leq \underbrace{[\tilde{C} + C(\beta - t_0) e^{L(\beta - t_0}]}_{R}. $$
+	Došli jsme ke sporu s Větou \ref{thm-leaving-compact}, neboť řešení $x$ nemůže opustit kompakt $K$.
+\end{proof}
+
+Důležitá poznámka: řešení existuje globálně na oboru spojitosti $A(t), g(t)$. Ve skutečnosti předchozí věta i pro nelineární rovnice $x' = f(x, t)$ se sublineární pravou stranou, tj. pokud $|f(x, t)| \leq a(t)|x| + g(t)$, kde $a(\cdot), g(\cdot)$ jsou spojité.
+
+\begin{definition}
+	\textit{Homogenní rovnicí} rozumíme rovnici \eqref{eq-linear-ode} pro $g(t) \equiv 0$, tj.
+	\begin{equation}
+		\label{eq-homogenous-linear-ode}
+		x' = A(t)x, x(t_0) = x_0.
+	\end{equation}
+\end{definition}
+
+Použijeme znalosti lineární algebry k tomu, abychom mohli formalizovat postup řešení lineárních ODR.
+
+\begin{theorem}
+	Množina $\mathcal{R}_H$ řešení homogenní rovnice \eqref{eq-homogenous-linear-ode} bez zadané počáteční podmínky tvoří $n$-dimenzionální podprostor $C^1((a, b), \mathbb{R}^n)$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Jádro lineárního zobrazení $Lx := x' - Ax$ je vektorový prostor. Dokážeme, že má dimenzi $n$. Nechť $i = 1,\dots,n$ a $x(t_0) = e_i$, pro tuto počáteční podmínku dostaneme řešení $x^i$. Potom $\{x^1, \dots, x^n\}$ tvoří bázi prostoru všech řešení. Skutečně, tyto vektory jsou lineárně nezávislé, mějme lineární kombinaci $c_1 x^1 + \dots + c_n x^n = 0$, speciálně v čase $t_0$ máme $c_1 e^1 + \dots + c_n x^n$, což implikuje, že $c_i = 0$ pro každé $i$. Navíc vezmeme libovolné řešení $z' = A(t) z$, opět zkoumejme stav v čase $t_0$. Máme $z(t_0) = d_1e^1 + \dots d_ne^n$ pro vhodná $d_1, \dots, d_n$. Definujme $y(t) := d_1 x^1(t) + \dots + d_n x^n(t)$, tedy $y$ řeší rovnici $y' = Ay$ a $y(t_0) = z(t_0)$, z čehož díky jednoznačnosti řešení dostáváme $y = z$. Tudíž jsme nalezli $n$-prvkovou bázi, tedy prostor $\mathcal{R}_H$ má dimenzi $n$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Fundamentální systémem} pro \eqref{eq-homogenous-linear-ode} rozumíme libovolnou bázi $\mathcal{R}_H$. Matice, jejíž sloupce tvoří prvky libovolného fundamentálního systému, nazýváme \textit{fundamentální maticí} pro \eqref{eq-homogenous-linear-ode}.
+\end{definition}
+
+Uvedeme si několik poznámek k definici fundamentální matice. Je-li $\Phi(t)$ nějaká fundamentální matice, pak
+\begin{itemize}
+	\item $\Phi(t)$ splňuje ``maticový tvar \eqref{eq-homogenous-linear-ode}", tedy $\Phi'(t) = A\Phi(t)$.
+	\item $\Phi(t)$ je regulární pro každé $t \in (a, b)$.
+	\item Obecné řešení \eqref{eq-homogenous-linear-ode} má tvar $\Phi(t) c$, kde $c \in \mathbb{R}^n$.
+	\item $\tilde{\Phi}(t) := \Phi(t) \Phi^{-1}(t_0)$ je také fundamentální matice, která navíc splňuje $\tilde{\Phi}(t_0) = I$.
+\end{itemize}
+
+\begin{theorem}[Variace konstant]
+	\label{thm-variation-of-constants}
+	Nechť $\Phi(t)$ je libovolná fundamentální matice pro \eqref{eq-homogenous-linear-ode}. Potom řešení nehomogenní rovnice \eqref{eq-linear-ode} lze napsat ve tvaru
+	$$ x(t) = \Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)x_0 + \Phi(t) \int_{t_0}^t \Phi^{-1}(s) g(s) ds $$
+	pro $t \in (a, b)$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Zderivováním dostaneme $x' = A(t) x + g(t)$, dále stačí ověřit počáteční podmínku dosazením.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Wronského determinant} (Wronskián) rovnice \eqref{eq-homogenous-linear-ode} je reálná funkce $w(t) := \det(\Phi(t))$, kde $\Phi$ je libovolná fundamentální matice příslušné rovnice.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}[Liouvilleova formule]
+	\label{thm-liouville-formula}
+	Nechť $\Phi(t)$ je maticové řešení \eqref{eq-homogenous-linear-ode} a nechť $w(t) = \det \Phi(t)$. Potom
+	$$ w(t) = w(t_0) \exp \left( \int_{t_0}^t \tr A(s) ds \right), $$
+	kde $\tr A$ je stopa matice $A$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Dokazovaná rovnost je ekvivalentní s
+	$$ w'(t) = w(t_0) \exp\left( \int_{t_0}^t \tr A(s) ds \right) \tr A(t) $$
+	a tedy
+	$$ w'(t) = \tr A(t) w(t), w(t_0) = w(t_0) $$
+	Dále
+	$$ \odv*{\det \Phi(t)}{t} = \odv*{\sum_\sigma (-1)^{\sgn \sigma} \Phi_{1, \sigma(1)}(t) \dots \Phi_{n, \sigma(n)}(t)}{t} = $$
+	$$ \sum_{k = 1}^n \sum_\sigma (-1)^{\sgn \sigma} \overbrace{\Phi \dots \Phi}^{\Phi' \text{ je v $k$-tém řádku }} = \sum_{k=1}^n \det D_k, $$
+	kde $D_k$ je matice $\Phi$ se zderivovaným $k$-tým řádkem.
+
+	\hfill \textit{konec 6. přednášky (28.3.2025)}
+
+	Dále si uvědomíme, že $\Phi'(t) = A(t)\Phi(t)$, přičemž násobení maticí zleva provádí řádkové úpravy na matici $\Phi(t)$. Konkrétně $\varphi_k^{j\prime}(t) = \sum_{i=1}^n a_{ki}(t)\varphi_i^j(t)$.
+
+	Platí $\det D_k = A_{kk}(t) \det \Phi(t)$ (vlastnosti determinantu). Z toho dostáváme, že $w'(t) = \det \Phi(t) \sum_{k=1}^n A_{kk}(t) = w(t) = \tr A(t)$.
+\end{proof}
+
+Pokud $\tr A(t) > 0$, potom wronskián roste, $=0$ množina možných hodnot řešení zachovává objem a pro $\tr A(t) <0$ v průběhu času objem klesá.
+
+\begin{example}
+	Řešme rovnici
+	$$ \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}' = \begin{pmatrix}2 & 0\\0 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}. $$
+		Dostáváme $x' = 2x, y' = -2y$, tedy $x = x(0)e^{2t}, y = y(0)e^{-2t}$. Nechť $x(0), y(0) \in [0, 1]$. Potom pro fixní $t_1 > 0$ dostáváme $x(t_1) \in [0, e^{2t_1}], y(t_1) \in [0, e^{-2t_1}]$. Obsah tohoto obdélníku je $e^{2t_1}e^{-2t_1} = 1$. Tedy, obsah je konstantní, což odpovídá pozorování z věty, neboť stopa matice ze zadání je nulová.
+\end{example}
+
+\begin{example}
+	Mějme rovnici $x' = f(t, x)$. Ukážeme si, že roli stopy matice z předchozího příkladu tu hraje divergence $f$ v proměnné $x$.
+\end{example}

lokalni-existence.tex

@@ -103,5 +103,5 @@ K důkazu této věty budeme potřebovat pomocné lemma:
 	0, (x, t) \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus K_2
 	\end{cases}$.
 
-	Z Lemmatu \ref{lemma-special-solution} máme, že rovnice $x' = \tilde{f(x, t)}$ má řešení $x$ splňující počáteční podmínku $x(t_0) = x_0$. Nazveme toto řešení $\tilde{x}$. Potom ze spojitosti $\tilde{x}$. Tedy existuje $\delta > 0$ takové, že graf $\tilde{x}$ na $(t_0 - \delta, t_0 + \delta)$ leží v $K_1$. Restrikce $\tilde{x}$ na tento interval nám tedy dává řešení původní rovnice.
+	Z Lemmatu \ref{lemma-special-solution} máme, že rovnice $x' = \tilde{f}(x, t)$ má řešení $x$ splňující počáteční podmínku $x(t_0) = x_0$. Nazveme toto řešení $\tilde{x}$. Potom ze spojitosti $\tilde{x}$. Tedy existuje $\delta > 0$ takové, že graf $\tilde{x}$ na $(t_0 - \delta, t_0 + \delta)$ leží v $K_1$. Restrikce $\tilde{x}$ na tento interval nám tedy dává řešení původní rovnice.
 \end{proof}

maximalni-reseni.tex

@@ -46,7 +46,8 @@ V případě $f$ lipschitzovské se důkaz dá výrazně zjednodušit. Budeme uv
 
 Na závěr si uvedeme jednu důležitou větu, která nám poskytne představu o tom, jak vypadají maximální řešení diferenciálních rovnic.
 
-\begin{theorem}[o opuštění kompaktu]
+\begin{theorem}[Opuštění kompaktu]
+	\label{thm-leaving-compact}
 	Nechť $K \subset \Omega$ je kompaktní, nechť $(x, I)$ je maximální řešení rovnice \eqref{eq-ode} splňující $(x(t_0), t_0) \in K$ pro nějaké $t_0 \in I$. Potom existují $t_1 > t_0 > t_2$ taková, že $(x(t_1), t_1) \notin K$ a $(x(t_2), t_2) \notin K$.
 \end{theorem}
 

skripta.tex

@@ -22,6 +22,14 @@
 \newtheorem{example}[theorem]{Příklad}
 \newtheorem{convention}[theorem]{Úmluva}
 
+\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
+\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
+
+\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand*{\N}{\mathbb{N}}
+
+\overfullrule=1mm
+
 \title{Obyčejné diferenciální rovnice (NMMA336)}
 \author{Petr Velička \footnote{\href{mailto:petrvel@matfyz.cz}{petrvel@matfyz.cz}}\\přednášející: doc. RNDr. Tomáš Bárta, Ph.D. \footnote{\href{mailto:barta@karlin.mff.cuni.cz}{barta@karlin.mff.cuni.cz}}}
 \date{LS 2024/25}
@@ -35,5 +43,8 @@
 \include{jednoznacnost-reseni}
 \include{maximalni-reseni}
 \include{zavislost-na-podmince}
+\include{linearni-rovnice}
+\include{linearni-rovnice-konst-koef}
+\include{stabilita}
 
 \end{document}

stabilita.tex

@@ -0,0 +1,67 @@
+\section{Stabilita}
+
+Lemma \ref{lemma-sol-dist} nám teoreticky poskytuje spojitost řešící funkce v proměnné $x_0$, pro větší $t$ však kvůli exponenciálnímu růstu nemá význam. Budeme proto zkoumat okolnosti, za nichž existují odhady, které se nezhoršují pro $t \in \infty$.
+
+\begin{definition}
+	Nechť $f = f(x, t)$ je spojitá v otevřené $\Omega \in \R^{n+1}$ a navíc lokálně lipschitzovská vůči $x$. Nechť $\Omega \supset \{0\} \times I$ kde $I = (\tau, \infty)$ a nechť $f(0, t) = 0$ pro všechna $t \in I$. Řekneme, že nulové řešení rovnice $x' = f(t, x)$ \eqref{eq-ode} je
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item \textit{stabilní}, jestliže pro všechna $t_0 \in I$ a $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ takové, že $|x_0| < \delta$ implikuje, že $\varphi(t, t_0, x_0)$ je definováno a splňuje $|\varphi(t, t_0, x_0)| < \varepsilon$ pro $t \geq t_0$;
+		\item \textit{nestabilní}, jestliže není stabilní;
+		\item \textit{lokální atraktor}, jestliže $\forall t_0 \in I$ existuje $\eta > 0$ tak, že $|x_0| < \eta$ implikuj, že $\varphi(t, t_0, x_0)$ je definováno pro všechna $t \geq t_0$ a navíc $\varphi(t, t_0, x_0) \to 0$ pro $t \to +\infty$;
+		\item \textit{asymptoticky stabilní}, jestliže je stabilní a navíc lokální atraktor;
+		\item \textit{uniformně stabilní}, jestliže pro všechna $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ takové, že pro všechna $t_0 \in I$ z $|x_0| < \delta$ plyne $\varphi(t, t_0, x_0)$ je definováno a splňuje $|\varphi(t, t_0, x_0)| < \varepsilon$ pro $t \geq t_0$;
+		\item \textit{uniformě asymptoticky stabilní}, jestliže je uniformně stabilní a navíc existuje $\eta < 0$ takové, že $\forall \varepsilon > 0$ existuje $T > 0$ takové, že pro všechna $t_0 \in I$ z $|x_0| < \eta$ plyne, že $\varphi(t, t_0, x_0)$ je definováno pro všechna $t \geq t_0$ a $|\varphi(t, t_0, x_0)| \leq \varepsilon|$ pro $t \geq t_0 + T$.
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+Pojem asymptotické stability zavádíme proto, že lokální atraktor nutně nemusí implikovat stabilitu. Konstrukci takového řešení můžeme nahlédnout pomocí tzv. Vinogradovova systému.
+V případě autonomní rovnice splývají pojmy (asymptotické) stability a uniformní (asymptotické) stability, neboť můžeme psát $\varphi(t, t_0, x_0) = \varphi(t - t_0, 0, x_0)$.
+
+Obecněji řešeno, řešení $\tilde x(t)$ rovnice $x' = f(x, t)$ se nazve stabilní (resp. uniformně stabilní atd.), jestliže má analogickou vlastnost nulové řešení rovnice $u' = g(u, t)$ kde $g(u, t) = f(\tilde x(t) + u, t) - f(\tilde x(t), t)$.
+
+V případě řešení lineární rovnice \eqref{eq-linear-ode}, tj. $x' = A(t)x + g(t)$ je stabilita libovolného řešení příslušné homogenní rovnice \eqref{eq-homogenous-linear-ode}.
+
+\begin{theorem}
+	Je dána rovnice $x' = A(t) x$, kde $A(t)$ je spojitá v $I = (\tau, \infty)$. Nechť $\Phi(t)$ je (libovolná) fundamentální matice. Potom nulové řešení je
+	\begin{enumerate}
+		\item stabilní, právě když pro $\forall t_0 \in I$ je $\|\Phi(t)\|$ omezená v $[t_0, \infty)$;
+		\item asymptoticky stabilní, právě když $\|\Phi(t)\| \to 0$ pro $t \to \infty$;
+		\item uniformně stabilní, právě když existuje $c > 0$ takové, že pro všechna $s < t \in I$ je $\|\Phi(t)\Phi^{-1}(s)\| \leq c$.
+		\item uniformně asymptoticky stabilní, právě když existují kladná $\alpha$ a $c$ taková, že pro všechna $s < t \in I$ je $\|\Phi(t)\Phi^{-1}(s)\| \leq ce^{-\alpha(t-s)}$.
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+	Nechť $A$ je konstantní matice. Potom nulové řešení rovnice $x' = Ax$ je
+	\begin{enumerate}
+		\item (uniformně) stabilní, právě když $\Re \lambda \leq 0$ pro všechna vlastní čísla $\lambda \in \sigma(A)$, přičemž $\Re \lambda = 0$ pouze pro polojednoduchá vlastní čísla (tedy příslušné Jordanovy buňky mají velikost 1).
+		\item (uniformě) asymptoticky stabilní, právě když $\Re \lambda \leq 0$ pro všechna vlastní čísla $\lambda \in \sigma(A)$.
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Plyne ihned z tvaru maticové exponenciály.
+\end{proof}
+
+Matice $A$ splňující $\Re \lambda < 0$ pro všechna $\lambda \in \sigma(A)$ se nazývá \textit{Hurwitzowská}.
+
+\begin{lemma}
+	Je dána rovnice $x' = Ax + r(x, t)$. Nechť existují kladná $\alpha, c$ tak, že $\|e^{tA}\| \leq ce^{-t\alpha}$ pro $t \geq 0$. Nechť dále $r(x, t): \R^{n+1} \to \R^n$ je spojitá a $|r(x, t)| \leq \gamma |x|$ pro všechna $x, y$ kde $\gamma < \frac{\alpha}{c}$. Pak každé řešení splňuje
+	$$ |x(t)| \leq c|x(t_0)| \exp(-\beta(t - t_0)) $$
+	pro $t \geq t_0$, kde $\beta = \alpha - c\gamma > 0$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Nechť $x$ řeší $x' = Ax + r(x, t)$ na $(0, +\infty)$. Pak $x$ řeší $x' = Ax + g(t)$, kde $g(t) := r(x(t), t)$. Z variace konstant (Důsledek \ref{thm-variation-hom-const}) dostáváme, že
+	$$ x(t) = e^{(t - t_0)A} x_0 + \int_{t_0}^t e^{(t-s)A} g(s) ds. $$
+	Pro $t > t_0$ dostaneme
+	$$ \|x(t)\| \leq ce^{-(t-t_0)\alpha} \|x_0\| + \int_{t_0}^t ce^{-(t-s)\alpha} \gamma \|x(s)\| ds. $$
+	Jinými slovy,
+	$$ \|x(t)\| e^{t\alpha} \leq ce^{t_0\alpha} \|x_0\| + \int_{t_0}^t ce^{-(t-s)\alpha} \gamma \|x(s)\| ds. $$
+	Z Gronwallova lemmatu (Lemma \ref{lemma-gronwall}) dostáváme
+	$$ e^{t\alpha} \| x(t) \| \leq ce^{t_0\alpha} \|x_0\| e^{c\gamma(t - t_0}. $$
+	Po opětovném přenásobení exponenciálou nakonec máme
+	$$ \|x(t)\| \leq c \|x_0\| e^{(t - t_0)(c\gamma - \alpha)} = ce^{-\beta(t - t_0)} \| x_0 \|. $$
+\end{proof}
+
+\hfill \textit{konec 8. přednášky (11.4.2025)}

zavislost-na-podmince.tex

@@ -1,6 +1,7 @@
 \section{Závislost na počáteční podmínce}
 
 \begin{lemma}[Gronwall]
+	\label{lemma-gronwall}
 	Nechť $w(t), g(t)$ jsou nezáporné a spojité na nějakém intervalu $I$ a nechť $t_0 \in I, K \geq 0$. Nechť pro každé $t \in I$ platí
 	$$ w(t) \leq K + \left| \int_{t_0}^t w(s) g(s) ds \right|. $$
 	Potom pro každé $t \in I$ platí
@@ -17,3 +18,115 @@
 \end{proof}
 
 \hfill \textit{konec 3. přednášky (7.3.2025)}
+
+\begin{lemma}
+	\label{lemma-sol-dist}
+	Nechť $f$ je globálně $L$-lipschitzovská v $\Omega$ vzhledem k $x$. Potom pro libovolná dvě řešení $(x, I), (y, J)$ v $\Omega$ a body $t, t_0 \in I \cap J$ platí
+	$$ \| x(t) - y(t) \| \leq \| x(t_0) - y(t_0) \| \exp(L|t - t_0|). $$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Můžeme psát
+	$$ \| x(t) - y(t) \| = \| x(t_0) + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds - (y(t_0) + \int_{t_0}^t f(y(s), s) ds) \| \leq $$
+	$$ \| x(t_0) - y(t_0) \| + \| \int_{t_0}^t \left| f(x(s), s) - f(y(s), s) \right| ds \| \leq $$
+	$$ \| x(t_0) - y(t_0) \| + \| \int_{t_0}^t L | x(s) - y(s) | ds.$$
+
+	Poté z Gronwallova lemmatu dostáváme, že
+	$$ \| x(t) - y(t) \| \leq K e^{|\int_{t_0}^t L ds|} = K e^{|t - t_0| L}, $$
+	kde funkci $w(s)$ ze znění lemmatu odpovídá výraz $\|x(s) - y(s)\|$.
+\end{proof}
+
+Jednoduchým důsledkem tohoto lemmatu je mj. jednoznačnost řešení (stačí uvažovat řešení s $x(t_0) = y(t_0)$).
+
+\begin{definition}
+	Nechť $f$ je spojitá a lokálně lipschitzovská vzhledem k $x$ v $\Omega$. Potom definujeme \textit{řešicí funcki} $\varphi : G \subset \mathbb{R}^{n + 2} \rightarrow \mathbb{R}^n$ předpisem $\varphi(t; t_0, x_0) := x(t)$, kde $x: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ je řešení splňující počáteční podmínku $x(x_0) = t_0$ a $t \in I$. Zde $G$ je maximální možná, tj. obsahuje všechny trojice $(t; t_0, x_0) \in \mathbb{R}^{n + 2}$ pro něž výraz $\varphi(t; t_0, x_0)$ má smysl.
+\end{definition}
+
+Například, uvažujeme-li rovnici $x'(t) = x(t)$. Obecným řešením této rovnice je funkce $x(t) = ce^t$, vyřešením rovnice s počáteční podmínkou dostaneme řešicí funkci $\varphi(t; t_0, x_0) = x_0e^{t - t_0}$.
+
+\begin{theorem}
+	\label{thm-cont-dep}
+	Množina $G$ z předchozí definice je otevřená a $\varphi$ je spojitá na $G$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Intermezzo: otevřenost $G$ znamená, že pro každé $(x_0, t_0) \in \Omega$ a $t$ existuje $r > 0$ takové, že pokud $\| (y_0, s_0) - (t_0, x_0) \|$, potom řešení $y$ procházející bodem $(y_0, s_0)$ je definované v bodech $(t - r, t + r)$, spojitost pak odpovídá tomu, že toto řešení bude po celou dobu ``blízko" toho původního.
+
+	Bez újmy na obecnosti nechť $t_0 > t$. Vezměme $(t; t_0, x_0) \in G$, buď $x$ maximální řešení s počáteční podmínkou $x(t_0) = x_0$. Pak $[t_0, t] \subset D_x$ (řešení je definováno na celém tomto intervalu). Vezměme $\delta > 0$ tak malé, aby $[t_0, t + 2\delta] \subset D_x$ (to můžeme, neboť $D_x$ je otevřená) a zároveň $K_\delta := \{ (y, s) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} : s \in [t_0 - \delta, t + \delta] \land |y(s) - x(s)| \leq \delta \} \subset \Omega$. Takto definovaná množina $K_\delta$ je kompaktní a tedy $f$ je na $K_\delta$ omezená konstantou $c_0$ (spojitá funkce na kompaktu) díky čemuž z lokální lipschitzovskosti plyne globální $L$-lipschitzovskost vzhledem k $x$.
+
+	Dokážeme, že řešení ``blízko" toho původního neopustí ``rouru" $K_\delta$. Zvolme $\varepsilon > 0$ takové, aby $\varepsilon < \frac{\delta}{2(1 + c_0)e^{L(t - t_0 + 2\delta)}}$. Vezměme $y_0, s_0$ tak, aby $|s_0 - t_0| < \varepsilon$, $|x_0 - y_0| < \varepsilon$. Dále vezmeme $y$ maximální řešení s podmínkou $y(s_0) = y_0$. Chceme dokázat, že $y$ je definované aspoň na intervalu $[s_0, t + \delta]$ a platí $|y(s) - x(s)| \leq \delta$ pro všechna $s \in [s_0, t + \delta]$.
+
+	Můžeme psát
+	$$ |y(s_0) - x(s_0)| \leq |y(s_0) - x(t_0)| + |x(t_0) - x(s_0)| \leq $$
+	$$ |y_0 - x_0| + |x'(\xi)| |t_0 - s_0| \leq (1 + c_0) \varepsilon, $$
+	kde $\xi$ je konstanta z Lagrangeovy věty, která ve vícerozměrném prostoru platí pouze jako neostrá nerovnost.
+
+	Dále odhadujme (použijeme Lemma \ref{lemma-sol-dist})
+	$$ |y(s) - x(s)| \leq |y(s_0) - x(s_0)| e^{L|s - s_0|} \leq (1 + c_0) \varepsilon e^{L|s - s_0|} \leq (1+c_0)\varepsilon e^{L(t - t_0 + 2\delta)}, $$
+	kde uvažujeme pouze body $s$, pro které existuje $y(s)$ a $y$ leží v $K_\delta$ na $[s_0, s]$. Z volby $\varepsilon$ dostáváme navíc
+	\begin{equation}
+		\label{eq-estimate-thm-sol-fun}
+		|y(s) - x(s)| \leq (1 + c_0) \varepsilon e^{L(t - t_0 + 2\delta)} < \frac{\delta}{2}.
+	\end{equation}
+
+	Maximální řešení $y$ opustí kompakt (Věta \ref{thm-leaving-compact}) $K_\delta$ někde za časem $s_0$. Označme $\gamma$ čas prvního opuštění (přesněji řečeno infimum všech časů, kdy to už není v tom kompaktu). Na intervalu $[s_0, \gamma]$ platí odhad \eqref{eq-estimate-thm-sol-fun}, tedy $|y(\gamma) - x(\gamma)| < \frac{\delta}{2}$, z čehož máme $\gamma = t + \delta$, to znamená, že kompakt nemůžeme opustit jinak než za časem $t$. Tím jsme dokázali otevřenost $G$.
+
+	Dokážeme spojitost $\varphi$ na $G$. Vezměme dva body $(t; t_0, x_0)$ a $(s; s_0, y_0)$ jako minule a uvažujme rozdíl
+	$$ | \varphi(t;t_0, x_0) - \varphi(s, s_0, y_0) | \leq |\varphi(t; t_0, x_0) - \varphi(s; t_0, x_0)| + $$
+	$$|\varphi(s; t_0, x_0) - \varphi(s; s_0, y_0)| \leq |x(t) - x(s)| + |x(s) - y(s)| \leq $$
+	$$ c_0(t - s) + |x(s_0) - y(s_0)e^{L|s - s_0|}| \leq c_0|t - s| + (1 + c_0)e^{L|s - s_0|} |x_0 - y_0|,$$
+	čímž jsme ukázali lipschitzovskost, a tedy spojitost $\varphi$ na $G$.
+\end{proof}
+
+Z hlediska praktických aplikací často uvažujeme rovnici \eqref{eq-ode} ve tvaru $x' = f(x, t, \lambda)$ závislém na hodnotě parametru $\lambda$. Přidejme druhou rovnici $\lambda' = 0$ a počáteční podmínky $x(t_0) = 0$ a $\lambda(t_0) = \lambda_0$, čímž jsme závislost na parametru převedli na závislost na počáteční podmínce (v případě, že $f$ je závisí na $\lambda$ lipschitzovsky).
+
+Označme pro účely následující věty $\pdv{}{w}$ derivaci ve směru $w \in \mathbb{R}^n$ dle proměnné $x_0$.
+
+\begin{theorem}
+	Nechť $f \in C_x^1(\Omega), w \in \mathbb{R}^n$. Potom $\pdv{\varphi}{w}(t, t_0, x_0)$ existuje v každém bodě $G$. Označíme-li $x(t) = \varphi(t, t_0, x_0)$ a $u(t) = \pdv{\varphi}{w}(t, t_0, x_0)$, pak funkce $u$ je řešením rovnice ve variacích
+	\begin{equation}
+		\label{eq-thm-diff-dep}
+		u' = \nabla_x f(x(t), t)u, u(t_0) = w.
+	\end{equation}
+\end{theorem}
+
+\hfill \textit{konec 4. přednášky (14.3.2025)}
+
+\begin{proof}
+	Větu dokážeme za silnějšího předpokladu $f \in C_x^2(\Omega)$.
+
+	Vezmeme pevně bod $(x_0, t_0)$ a víme, že tímto bodem prochází právě jedno maximální řešení, označíme ho $x(t)$. Dále označme $A(t) = \nabla_x f(x(t), t)$. Potom $A(t)$ je matice $n \times n$. Vezmeme pevné $w \in \mathbb{R}^n$ a označme $u(t)$ maximální řešení počáteční úlohy \eqref{eq-thm-diff-dep}. 
+
+	Dle Věty \ref{thm-unique-sol-lineq} existuje právě jedno řešení a je definované na celém intervalu, kde je definovaná $A(t)$. Chceme dokázat, že $u(t) = \pdv*{\varphi}{w}(t, t_0, x_0)$.
+	Z definice máme, že
+	$$ \pdv*{\varphi}{w}(t, t_0, x_0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} (\varphi(t, t_0, x_0 + hw) - \varphi(t, t_0, x_0). $$
+	Vezmeme $t$ pevné tak, aby $(t, t_0, x_0) \in G$, tedy $x(t)$ je dobře definované. Vezmeme dost malé $h$ tak, aby $\varphi(t, t_0, x_0 + hw)$ bylo definované. Položme $y_h(t) := \varphi(t, t_0, x_0 + hw)$.
+	
+	Definujeme funkci $\eta_h(t) = \frac{1}{h}(y_h(t) - x(t)) - u(t)$. Ukážeme, že $\lim_{h \rightarrow 0} \eta_h(t) = 0$. Pišme
+	$$ \eta'_h(t) = \frac{1}{h}(y_h'(t) - x'(t)) - u'(t) = \frac{1}{h} (f(y_h(t), t) - f(x(t), t)) - \nabla_x f(x(t), t) u(t). $$
+	Použijeme Taylorův rozvoj prvního řádu pro funkci $f$, dostaneme
+	$$ \eta'_h(t) = \frac{1}{h} (\nabla_x f(x(t), t) (y_h(t) - x(t)) + $$ 
+	$$ \frac{1}{2}(y_h(t) - x(t))^T \pdv*[order={2}]{f}{x}(x(t), t) (y_n(t) - x(t)) - \nabla_x f(t, x(t)) u(t). $$
+	Tedy máme, že 
+		$$ \eta_h'(t) = \nabla_x f(x(t), t) \left[\frac{1}{h}(y_h(t) - x(t)) - u(t)\right] + \frac{1}{h} z_n(t).$$
+	Potom $\eta_h'(t) = A(t)\eta_h(t) + z_n(t)$.
+
+	Pro $h$ malé je vše v $K_\delta$ z Věty \ref{thm-cont-dep}. Na $K_\delta$ jsou $\nabla_x f$ a $\nabla^2_x f$ omezené $\leq M$. Zde předpokládáme, že $f \in C_x^2(\Omega)$.
+	Potom z Lemmatu \ref{lemma-sol-dist} můžeme psát
+	$$ \| z_h(t) \| \leq \frac{1}{2} M \| y_h(t) - x(t) \|^2 \leq \frac{1}{2}M \|y_h(t_0) - x(t_0) \|^2 e^{2M|t - t_0|} \leq Ch^2 \|w\|^2. $$
+
+	Uvědomíme si, že $\eta_h(t_0) = 0$ a napíšeme integrální rovnici odpovídající diferenciální rovnici pro $\eta'_h$
+	$$ \eta_h(t) = \eta_h(t_0) + \int_{t_0}^t A(s) \eta_h(s) + z_n(s) ds, $$
+	Tedy $\| \eta_h(t) \| \leq \left| \int_{t_0}^t M \| \eta_h(s) \| + Chds \right| = C|t - t_0| h + \left|\int_{t_0}^t M \| \eta_h(s) ds \right|$.
+	Použijeme Gronwallovo lemma (Lemma \ref{lemma-gronwall}), dostaneme.
+	$$ \| \eta_h(t) \| \leq \tilde{C} h e^{M|t - t_0|}, $$
+	tedy $\eta_h(t) \rightarrow 0$ pro $h \rightarrow 0$, čímž je důkaz ukončen.
+\end{proof}
+
+Ukážeme si jednu aplikaci následující věty pro výpočet derivace řešící funkce.
+
+\begin{example}
+	Mějme rovnici $x' = x$, její řešící funkce má tvar $\varphi(t, t_0, x_0) = x_0 e^{t - t_0}$. Potom $\odv*{\varphi(t, t_0, x_0)}{x} = e^{t - t_0}$. Totéž můžeme spočítat z předchozí věty. Hledaná funkce řeší diferenciální rovnici $u' = u$ s počáteční podmínkou $u(t_0) = t$. Jejím řešením je $e^{t - t_0}$, což jsme chtěli dokázat.
+\end{example}
+
+Za uvedených předpokladů dokonce $\odv{\varphi}{w}$ závisí spojitě na $x_0$ tj. řešicí funkce je diferencovatelná (má totální diferenciál) vzhledem k $x_0$. Lze též ukázat, že $\varphi$ je diferencovatelná vůči $t$ a $t_0$.